Chủ đề này có 3 trả lời

[minhquang47]

Chứng minh rắng nếu A là ma trận vuông cấp 2 trên trường số phức $\mathbb{C}$ thì A đồng dạng trên $\mathbb{C}$  với một ma trân thuộc một trong hai dạng sau:

                                 $\left(\begin{array}{c c}{{a}}&{{0}}\\ {{0}}&{{b}}\end{array}\right);\left(\begin{array}{c c}{{a}}&{{0}}\\ {{1}}&{{a}}\end{array}\right).$

[Konstante]

Do $A$ là ma trận trên trường số phức nên nó luôn có $2$ giá trị riêng (tính cả bội), gọi các giá trị riêng đó là $a,b$, các không gian riêng tương ứng là $E_a,E_b$ (với $\dim E_a \geq 1$, $\dim E_b \geq 1)$. Có hai trường hợp

 

Nếu $\dim E_a \oplus E_b = 2$ (ma trận $A$ chéo hóa được) thì tồn tại một cơ sở $\left\{ v_a, v_b \right\}$ với $v_a \in E_a$ và $v_b \in E_b$, khi đó ma trận $A$ trong cơ sở này sẽ là $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}$.

 

Nếu $\dim E_a \oplus E_b = 1$, tức là hai không gian riêng $E_a$ và $E_b$ trùng nhau (kéo theo $a=b$) và có số chiều là $1$ (ma trận $A$ không chéo hóa được), thì tồn tại một cơ sở $\left\{ w, v_a \right\}$ với $v_a \in E_a$ và $w \not\in E_a$, khi đó ma trận $A$ trong cơ sở này sẽ là $\begin{pmatrix} w_0 & 0 \\ w_1 & a \end{pmatrix}$.

• vì $a=b$, điều này kéo theo đa thức đặc trưng $P_A = {(X-a)}^2$, từ đó $w_0 = a$,
• vì $\dim E_a \oplus E_b = 1$ nên  $w_1 \neq 0$.

Thế thì ma trận $A$ trong cơ sở $\left\{ \frac{w}{w_1}, v_a \right\}$ sẽ là $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 02-01-2024 - 05:47

[TonyStark]

Cho A là ma trận vuông cấp 2 trên R. Chứng minh nếu A đối xứng thì A chéo hoá được

[Konstante]

Nếu $A$ đối xứng thì $A$ là ma trận của một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp. Mà mọi ánh xạ tự liên hợp đều chéo hóa được (hơn nữa còn chéo hóa được với một cơ sở trực chuẩn), tức là $A$ chéo hóa được (điều này đúng với các ma trận $A$ với cấp bất kỳ nên giả thiết cấp bằng $2$ là không cần thiết).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 03-01-2024 - 18:04