Chủ đề này có 2 trả lời

[Kino]

Cho $f(x)$ xác định và $f'(x) > 0 \, \forall x \in \mathbb{R}$. Biết tồn tại $x_{0}$ thuộc $\mathbb{R}$ sao cho :

$f(f(f(f(x_{0}))))=x_{0}$

chứng minh $f(x_{0})=x_{0}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-01-2024 - 00:32
LaTeX

[perfectstrong]

Giả sử $f(x_0) \ne x_0$.

TH1: $x_0 < f(x_0) \Rightarrow f(x_0) < f(f(x_0)) \Rightarrow f(f(x_0)) < f(f(f(x_0))) \Rightarrow f(f(f(x_0))) < f(f(f(f(x_0))))$

$\Rightarrow x_0 < f(x_0) < f(f(x_0)) < f(f(f(x_0))) < f(f(f(f(x_0))))$: mâu thuẫn với giả thiết.

TH2: $x_0 > f(x_0)$. Tương tự, ta có $x_0 > f(x_0) > f(f(x_0)) > f(f(f(x_0))) > f(f(f(f(x_0))))$: mâu thuẫn.

Vậy $f(x_0)=x_0$.

 

Không rõ mình làm sai chỗ nào không, nhưng có vẻ hiển nhiên. Điều kiện $f'(x) > 0$ có vẻ thừa, chỉ cần $f$ tăng là đủ.

[Kino]

đúng rồi đó anh, tại $x = x_{0}$ là điểm bất động nên ta có điều hiển nhiên