Bài 1: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2009-2010, vòng 2)
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 96◦ . Lấy điểm M trong tam giác sao cho góc MBC = 12◦ , góc MCB = 24◦ . Chứng minh rằng MA = MC.
Bài 2: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2010-2011, vòng 2)
Cho tam giác ABC và hai điểm M , N lần lượt nằm trên cạnh AB , AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng nửa diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC nằm trong tam giác AMN .
Bài 3: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2011-2012, vòng 2)
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB khác đường kính. Qua trung điểm I của AB, kẻ hai dây cung CD và EF của đường tròn (C, F thuộc cung nhỏ AB). Các đường thẳng CE, DF lần lượt cắt AB tại M và N. Chứng minh rằng AM = BN.
Bài 4: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2011-2012, vòng 2)
Cho tam giác ABC, đường phân giác BE và CD. Điểm M thuộc đoạn DE. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA và AB. Chứng minh rằng MH = M I + MK.
Bài 5: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2012-2013, vòng 1)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là trung điểm của OB và C là điểm đối xứng với A qua K. Đường thẳng d vuông góc với AB tại K cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng MC, NC là các tiếp tuyến của (O).
Bài 6: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2012-2013, vòng 2)
Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC (AB > AC). Gọi M , N là đường kính vuông góc với BC. Các đường thẳng AN , AM lần lượt cắt đường thẳng BC tại D , E. Chứng minh rằng AB · AC = DB · DC + AD ^2 = EB · EC − AE^2 .
Bài 7: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2012-2013, vòng 2)
Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD , BE , CF cắt nhau tại M. Chứng minh rằng nếu bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác MAE , MAF , MBD , MBF , MCD , MCE bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 8: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2014-2015, vòng 2)
Cho đường tròn ( O ; R ) , AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau, M là một điểm thuộc đường tròn ( O ). Tìm giá trị lớn nhất của P = MA · MB · MC · MD .
Bài 9: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2014-2015, vòng 2 )
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ), đường cao AN , CK của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi E là trung điểm của AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai M. Chứng minh ba điểm M , H , E thẳng hàng.
Bài 10: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2015-2016, vòng 1)
Cho tam giác ABC có góc BAC = 120 ◦ , AB = 4 cm, AC = 6 cm. Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác đã cho.
Bài 11: (Đề thi HSG Toán 9 quận Ba Đình - Hà Nội, 2015-2016, vòng 1)
Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O' ; R' ) có OO' > R + R' . Từ O kẻ tới ( O') tiếp tuyến OT' , từ O' kẻ tới ( O ) tiếp tuyến OT ( T và T' nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ OO' ). Đường thẳng TT' cắt ( O ) và ( O' ) lần lượt tại S và S' ( S khác T và S' khác T' ). Chứng minh rằng ST = S'T'.
Ai làm đc có thể gửi lời giải bài đó lên topic nhé!!!!
