Chủ đề này có 1 trả lời

[Hung0311]

So sánh các VCB $f\left ( x \right )=x-\sin x$ và $g\left ( x \right ) = x^{2}.\sin x$ khi $x \to 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-01-2024 - 20:58
Tiêu đề & LaTeX

[Thegooobs]

So sánh các VCB $f\left ( x \right )=x-\sin x$ và $g\left ( x \right ) = x^{2}.\sin x$ khi $x \to 0$

Vì $\sin x \stackrel{ x \to 0}{\sim} x$ và $x^2 \stackrel{x \to 0}{\sim} x^2$ nên $x^2\sin x \stackrel{x \to 0}{\sim}x^3$ hay $g(x) \stackrel{x \to 0}{\sim} x^3$

Vậy việc so sánh $f$ với $g$ ta quy về so sánh $h(x)=x^3$ với $f(x)=x-\sin x$

Xét giới hạn: $\ell=\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$

Tới đây ta có thể tính giới hạn đó bằng khai triển $\text{Maclaurin}$ hoặc quy tắc $\text{L'Hospital}$ ở đây mình dùng quy tắc $\text{L'Hospital}$.

Khi đó $\ell=\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}x^2}{3x^2}=\dfrac{1}{6}$

Vậy $f$ và $h$ cùng bậc dẫn đến $f$ và $g$ cùng bậc hay $f(x)\stackrel{x \to 0}{=}O[g(x)]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-01-2024 - 21:47