Chủ đề này có 6 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu cách chia 6 bi xanh và 8 bi vàng cho 10 em sao cho mỗi em ít nhất 1 viên bi, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc.

[hxthanh]

Làm một cách thủ công:
Ký hiệu: $(x^5,3x,6v)$ nghĩa là cách chia: “một em 5 bi xanh, 3 em 1 bi xanh và 6 em 1 bi vàng”
Có ${10 \choose 1} {9 \choose 3}=840$ cách
$(v^5,v,8x)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1}=90$ cách
$(x^4,x^2,2x,6v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 2}=2520$ cách
$(x^4,4x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 4} =6300$ cách
$(8x,v^2,v^4)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1}=90$ cách
$(2x^3,2x,6v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 2}=1260$ cách
$(x^3,5x,v^3,3v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 3} =5040$ cách
$(8x,2v^3)$ Có ${10 \choose 2} =45$ cách
$(x^3,2x^2,x,6v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 2} {7 \choose 1} =2520$ cách
$(x^3,x^2,3x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 1} {7 \choose 3}=25200$ cách
$(x^3,5x,2v^2,2v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 2} {7 \choose 2} =7560$ cách
$(2x^2,4x,v^3,3v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 1} {7 \choose 3}= 12600$ cách
$(x^2,6x,v^2,v^3,v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 1} {7 \choose 1}= 5040$ cách
$(4x^2,6v)$ Có ${10 \choose 4}= 210$ cách
$(3x^2,2x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 3} {7 \choose 1} {6 \choose 2} =12600$ cách
$(2x^2,4x,2v^2,2v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 2} {6 \choose 2} =18900$ cách
$(x^2,6x,3v^2)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 3} =840$ cách
——
Cộng hết lại thì được kết quả $\large{101\,655}$
Có lẽ sử dụng hàm sinh sẽ tốt hơn!

[Nobodyv3]

Làm một cách thủ công:
Ký hiệu: $(x^5,3x,6v)$ nghĩa là cách chia: “một em 5 bi xanh, 3 em 1 bi xanh và 6 em 1 bi vàng”
Có ${10 \choose 1} {9 \choose 3}=840$ cách
$(v^5,v,8x)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1}=90$ cách
$(x^4,x^2,2x,6v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 2}=2520$ cách
$(x^4,4x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 4} =6300$ cách
$(8x,v^2,v^4)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1}=90$ cách
$(2x^3,2x,6v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 2}=1260$ cách
$(x^3,5x,v^3,3v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 3} =5040$ cách
$(8x,2v^3)$ Có ${10 \choose 2} =45$ cách
$(x^3,2x^2,x,6v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 2} {7 \choose 1} =2520$ cách
$(x^3,x^2,3x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 1} {7 \choose 3}=25200$ cách
$(x^3,5x,2v^2,2v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 2} {7 \choose 2} =7560$ cách
$(2x^2,4x,v^3,3v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 1} {7 \choose 3}= 12600$ cách
$(x^2,6x,v^2,v^3,v)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 1} {8 \choose 1} {7 \choose 1}= 5040$ cách
$(4x^2,6v)$ Có ${10 \choose 4}= 210$ cách
$(3x^2,2x,v^2,4v)$ Có ${10 \choose 3} {7 \choose 1} {6 \choose 2} =12600$ cách
$(2x^2,4x,2v^2,2v)$ Có ${10 \choose 2} {8 \choose 2} {6 \choose 2} =18900$ cách
$(x^2,6x,3v^2)$ Có ${10 \choose 1} {9 \choose 3} =840$ cách
——
Cộng hết lại thì được kết quả $\large{101\,655}$
Có lẽ sử dụng hàm sinh sẽ tốt hơn!

Bravo! Đếm tiếp thầy ơi. Xét tiếp các trường hợp có em được cả bi xanh và bi vàng.
PS: Thầy nhầm số lượng bi xanh, bi vàng, nhưng không sao, vì bi xanh bi vàng có vai trò như nhau nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán.

[hxthanh]

Bravo! Đếm tiếp thầy ơi. Xét tiếp các trường hợp có em được cả bi xanh và bi vàng.
PS: Thầy nhầm số lượng bi xanh, bi vàng, nhưng không sao, vì bi xanh bi vàng có vai trò như nhau nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán.

Thật sự quên mất các trường hợp này!
Cách thống kê này gặp rắc rối lớn

[Nobodyv3]

Thật sự quên mất các trường hợp này!
Cách thống kê này gặp rắc rối lớn

Đúng vậy thầy ạ. Tính theo casework là bất khả thi. Vậy thì dùng hàm sinh thôi:
Gọi $i,j$ lần lượt là số bi xanh, số bi vàng mà mỗi cá nhân được chia thì ta thấy $i+j\geq 1$.Do đó hàm sinh cho số cách chia bi cho mỗi em là $g(x,y)=\frac{1}{(1-x)(1-y)}-1$ (hoặc $g(x,y)=\sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{8}x^iy^j-1$). Vậy hàm sinh cho số cách chia bi cho 10 em thỏa yêu cầu là :
$G(x,y)=\left ( \sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{8}x^iy^j-1 \right )^{10}$
Và với sự trợ giúp của anh WA, ta có kết quả :
$$\left [ x^6y^8 \right ]G(x,y)=\boldsymbol {555075}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-01-2024 - 14:57

[hxthanh]

Bỗng nhiên nghĩ ra từ phương pháp bù trừ. Thật tuyệt!
Xét hai phương trình chia kẹo:
$\begin{cases}x_1+x_2+…+x_{10}=8 \\ v_1+v_2+…+v_{10}=6\end{cases}$
Gọi $k$ là số em không có viên kẹo nào, vậy thì số cách chia thoả mãn theo nguyên lý bù trừ sẽ là
$S=\sum_{k=0}^{10} (-1)^k {10 \choose k} {17-k \choose 9-k} {15-k \choose 9-k}=\large 555\,075$
…
https://www.wolframa...1)^k, {k,0,10}]
Việc tính toán này dễ chịu hơn nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-01-2024 - 00:49

[Nobodyv3]

Bỗng nhiên nghĩ ra từ phương pháp bù trừ. Thật tuyệt!
Xét hai phương trình chia kẹo:
$\begin{cases}x_1+x_2+…+x_{10}=8 \\ v_1+v_2+…+v_{10}=6\end{cases}$
Gọi $k$ là số em không có viên kẹo nào, vậy thì số cách chia thoả mãn theo nguyên lý bù trừ sẽ là
$S=\sum_{k=0}^{10} (-1)^k {10 \choose k} {17-k \choose 9-k} {15-k \choose 9-k}=\large 555\,075$
…
]https://www.wolframalpha.com/input?i=sum[{(17-k)+choose+9-k}+{(15-k)+choose+9-k}+{10+choose+k}+(-1)^k%2C+{k%2C0%2C10}]
Việc tính toán này dễ chịu hơn nhiều!

Tuyệt vời ông Mặt Trời!
Nhưng hạn chế thức khuya, giữ gìn sức khỏe thầy ạ.