Chủ đề này có 17 trả lời

[bocvacdem]

Các anh chị cho em hướng giải bài này hay một số kết quả liên quan tới $rank = 1$ với ạ. Em xin cảm ơn anh chị ạ. 
 

Cho $A, B \in \mathbb{M}(n, \mathbb{R})$, sao cho $rank(AB-BA) = 1$. Chứng minh rằng $(AB-BA)^2 = O_n$ với $O_n$ là ma trận vuông cấp $n$, chứa tất cả hệ số bằng 0. 

 

 

[literallyme]

Mình đưa ra hướng giải cho bài toán bạn nêu.

 

Đầu tiên là việc hạng của ma trận bằng $1$. Theo định nghĩa hạng của ma trận, hạng của một ma trận bằng hạng của các vector cột. Ngoài ra, trong một ma trận, hạng của các vector hàng bằng hạng của các vector cột. Khi ma trận có hạng là $1$ thì tồn tại ít nhất một hàng (cột) sao cho các hàng (cột) còn lại là tổ hợp tuyến tính của hàng (cột) đấy.

 

Thứ hai là đặc điểm của ma trận $(AB - BA)$. Ma trận này có vết bằng $0$ (tổng các yếu tố trên đường chéo chính).

 

Bạn áp dụng hai điều này và quy tắc nhân ma trận để giải quyết bài toán nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi literallyme: 20-01-2024 - 16:29

[bocvacdem]

Mình đưa ra hướng giải cho bài toán bạn nêu.

 

Đầu tiên là việc hạng của ma trận bằng $1$. Theo định nghĩa hạng của ma trận, hạng của một ma trận bằng hạng của các vector cột. Ngoài ra, trong một ma trận, hạng của các vector hàng bằng hạng của các vector cột. Khi ma trận có hạng là $1$ thì tồn tại ít nhất một hàng (cột) sao cho các hàng (cột) còn lại là tổ hợp tuyến tính của hàng (cột) đấy.

 

Thứ hai là đặc điểm của ma trận $(AB - BA)$. Ma trận này có vết bằng $0$ (tổng các yếu tố trên đường chéo chính).

 

Bạn áp dụng hai điều này và quy tắc nhân ma trận để giải quyết bài toán nhé.

Cảm ơn bạn, mình có giải quyết được bài này rồi. 
 

Đặt $X = (AB - BA)$. Vì $rank(X) = 1$, vậy $X$ có dạng 

 

$$X = U^TV = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \dots & u_nv_n \end{bmatrix}$$

 

trong đó $U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{bmatrix}, V = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$

 

Ta có: $VU^T = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} v_i u_i = r \in \mathbb{R}$. Từ đó

$$X^2 = (U^TV)^2 = (U^TV)(U^TV) = U^T(VU^T)V = U^T r V = r (U^T V) = rX$$

 

Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất $r \in R$ thỏa mãn $X^2 = rX$. 

 

Giả sử $\exists r' \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $X^2 = r'X$, khi đó: 

$$O_n = r'X - rX = (r' - r)X$$

 

Do $X \neq O_n$, suy ra $(r' - r) = 0$ hay $r' = r$.

 

Dễ thấy $r = trace(X) = trace(AB - BA)$. Lại có $trace(AB - BA) = 0$, do: 

$$trace(AB) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} (AB)_{ii} =  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} A_{ik} B_{ki} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} B_{ki} A_{ik} = trace(BA)$$

 

và $trace(AB-BA) = trace(AB) - trace(BA)$. 

 

Vì vậy, $X^2 = O_n$ hay $(AB - BA)^2 = O_n$ 

 

[Konstante]

Gọi $u \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ là tự đồng cấu tương ứng với ma trận $AB - BA$ và $P_u$ là đa thức cực tiểu của $f$. Do $AB-BA$ có đường chéo chính bằng $0$ nên đa thức đặc trưng của $u$ là $$\mathcal{X}_u = X^n$$đây cũng là một đa thức hủy của $u$ theo định lý Cayley-Hamilton. Vì $P_u$ là đa thức cực tiểu của $u$ nên $P_u \mid \mathcal{X}_u$, từ đó $$P_u = X^k$$ với $k \leq n$. Mặt khác theo giả thiết $\texttt{rg} (u) = 1$ nên tồn tại một đa thức hủy $Q$ của $u$ với bậc $2$, vẫn do $P_u$ là đa thức cực tiểu nên $P_u \mid Q$. Hay là $$X^k \mid Q$$ với $Q$ là một đa thức bậc $2$, kéo theo $k \leq 2$. Do vậy $(AB - BA)^2 = 0$.

 

Nói chung nếu $\texttt{rg}(AB-BA) = i$ thì $(AB-BA)^{i+1} = 0$.

[nmlinh16]

 

Cảm ơn bạn, mình có giải quyết được bài này rồi. 
 

Đặt $X = (AB - BA)$. Vì $rank(X) = 1$, vậy $X$ có dạng 

 

$$X = U^TV = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \dots & u_nv_n \end{bmatrix}$$

 

trong đó $U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{bmatrix}, V = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$

 

Ta có: $VU^T = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} v_i u_i = r \in \mathbb{R}$. Từ đó

$$X^2 = (U^TV)^2 = (U^TV)(U^TV) = U^T(VU^T)V = U^T r V = r (U^T V) = rX$$

 

Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất $r \in R$ thỏa mãn $X^2 = rX$. 

 

Giả sử $\exists r' \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $X^2 = r'X$, khi đó: 

$$O_n = r'X - rX = (r' - r)X$$

 

Do $X \neq O_n$, suy ra $(r' - r) = 0$ hay $r' = r$.

 

Dễ thấy $r = trace(X) = trace(AB - BA)$. Lại có $trace(AB - BA) = 0$, do: 

$$trace(AB) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} (AB)_{ii} =  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} A_{ik} B_{ki} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} B_{ki} A_{ik} = trace(BA)$$

 

và $trace(AB-BA) = trace(AB) - trace(BA)$. 

 

Vì vậy, $X^2 = O_n$ hay $(AB - BA)^2 = O_n$ 

 

Từ chỗ $\text{trace}(X) = 0$ bạn đã suy ra được $r = 0$ rồi, không cần chứng minh $r$ là duy nhất nữa.

[bocvacdem]

Gọi $u \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ là tự đồng cấu tương ứng với ma trận $AB - BA$ và $P_u$ là đa thức cực tiểu của $f$. Do $AB-BA$ có đường chéo chính bằng $0$ nên đa thức đặc trưng của $u$ là $$\mathcal{X}_u = X^n$$đây cũng là một đa thức hủy của $u$ theo định lý Cayley-Hamilton. Vì $P_u$ là đa thức cực tiểu của $u$ nên $P_u \mid \mathcal{X}_u$, từ đó $$P_u = X^k$$ với $k \leq n$. Mặt khác theo giả thiết $\texttt{rg} (u) = 1$ nên tồn tại một đa thức hủy $Q$ của $u$ với bậc $2$, vẫn do $P_u$ là đa thức cực tiểu nên $P_u \mid Q$. Hay là $$X^k \mid Q$$ với $Q$ là một đa thức bậc $2$, kéo theo $k \leq 2$. Do vậy $(AB - BA)^2 = 0$.
 
Nói chung nếu $\texttt{rg}(AB-BA) = i$ thì $(AB-BA)^{i+1} = 0$.

Anh Konstante ơi, anh cho em xin tên tiếng anh của “đa thức huỷ” được không ạ. Em chưa rõ lắm về cái này ạ.

[Konstante]

Tiếng Anh là "annihilating polynomial" (thú thật là mình vừa tìm kiếm qua Google để tìm khái niệm tương đương chứ chưa từng đọc tài liệu nào bằng tiếng Anh về điều này). Còn tiếng Pháp là "polynôme annulateur", đề tài này được trình bày rất nhiều trong các tài liệu về đại số tuyến tính ở Pháp (là nội dung bắt buộc của chương trình đại số tuyến tính năm thứ hai cũng như các lớp dự bị ở tất cả các trường), bạn có thể đọc ví dụ ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 22-01-2024 - 07:26

[ngtien1255]

Anh Konstante ơi, anh cho em xin tên tiếng anh của “đa thức huỷ” được không ạ. Em chưa rõ lắm về cái này ạ.

Đa thức huỷ của $A$ là cách cậu ta gọi một đa thức bất kỳ nhận ma trận $A$ làm nghiệm thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtien1255: 22-01-2024 - 20:47

[Konstante]

Dạ thưa bạn ngtien1255, đây không phải là cách mình muốn, mà đây là các đối tượng thực sự được nghiên cứu. Bạn có thể không biết gì về điều này, cái đó hoàn toàn không vấn đề gì, nhưng nếu bạn không biết thì không nên nói bừa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 22-01-2024 - 23:44

[ngtien1255]

Dạ thưa bạn ngtien1255, đây không phải là cách mình muốn, mà đây là các đối tượng thực sự được nghiên cứu. Bạn có thể không biết gì về điều này, cái đó hoàn toàn không vấn đề gì, nhưng nếu bạn không biết thì không nên nói bừa.

Tôi không thấy tôi nói gì khác cái link cậu gửi cả? Ý cậu là gì đây nào? Hay là cậu nghĩ những cái này sâu sắc lắm chỉ cậu biết?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtien1255: 23-01-2024 - 07:42

[Konstante]

Dạ thưa bạn ngtien1255, bạn bấm vào link xem định nghĩa rồi trả lời bài viết ra điều hiểu biết? Bạn biết được gì khác ngoài cái định nghĩa vừa đọc vội?

Khi mình đã nói ngay từ đầu rằng đó nằm trong chương trình của đại số tuyến tính năm thứ hai, thì đương nhiên mọi sinh viên đều biết, có gì là ghê gớm.

Còn bạn mình đoán không biết gì (xin lỗi nếu nói sai), vì thỉnh thoảng thấy bạn có trả lời trên này thì bài viết toàn là loanh quanh văn vở, chẳng thấy Toán đâu cả (nếu có thì làm ơn chỉ ra một bài viết của bạn có liên quan tí chút đến Toán, mình cảm ơn). Xin cải biên một câu nói của Linus Torvalds: "Talk is cheap. Show me the proof."

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 23-01-2024 - 17:54

[ngtien1255]

Dạ thưa bạn ngtien1255, bạn bấm vào link xem định nghĩa rồi trả lời bài viết ra điều hiểu biết? Bạn biết được gì khác ngoài cái định nghĩa vừa đọc vội?

Khi mình đã nói ngay từ đầu rằng đó nằm trong chương trình của đại số tuyến tính năm thứ hai, thì đương nhiên mọi sinh viên đều biết, có gì là ghê gớm.

Còn bạn mình đoán không biết gì (xin lỗi nếu nói sai), vì thỉnh thoảng thấy bạn có trả lời trên này thì bài viết toàn là loanh quanh văn vở, chẳng thấy Toán đâu cả (nếu có thì làm ơn chỉ ra một bài viết của bạn có liên quan tí chút đến Toán, mình cảm ơn). Xin cải biên một câu nói của Linus Torvalds: "Talk is cheap. Show me the proof."

Lol lại còn soi bài viết trên này nữa à. Why are you so cheap man?

Xin lỗi chứ nội dung trong cái link của cậu tất cả sinh viên năm nhất ở đây đều học qua trong đó cả rồi. Rốt cuộc cậu tự dưng chui vào kêu tôi không biết gì, tôi hỏi cậu tôi nói gì sai thì lảng tránh và quay sang công kích tôi :/ Trước khi học toán sao cậu không nghĩ đến học đọc hiểu trước nhỉ?

[Konstante]

Ok, vậy kiểm tra thử xem vàng thau thế nào, vàng thật sợ gì lửa. Bạn ngtien1255 giải thích tại sao nếu $Q$ là một đa thức hủy và $P$ là đa thức cực tiểu thì $P \mid Q$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 23-01-2024 - 19:52

[ngtien1255]

Ok, vậy kiểm tra thử xem vàng thau thế nào, vàng thật sợ gì lửa. Bạn ngtien1255 giải thích tại sao nếu $Q$ là một đa thức hủy và $P$ là đa thức cực tiểu thì $P \mid Q$.

Cậu thì học dăm năm nữa rồi hẵng đòi hỏi thi như thầy tôi, nhưng thôi tôi cứ trả lời cho cậu vui. Thích bới lông tìm vết thì xin lỗi chứ phát biểu cái đề của cậu illiterate cả toán lẫn tiếng Việt.

Theo định nghĩa thì đa thức tối tiểu $P$ của ma trận $A$ là đa thức bậc nhỏ nhất nhận $A$ làm nghiệm, tức là $P(A) = 0$. Vậy thì giờ đơn giản là thực hiện chia đa thức \[Q(x) = P(x)H(x) + R(x)\] với $\deg R < \deg P$ nào đó. Do $Q(A) = P(A) = 0$ nên $R(A) = 0$, nhưng vì tính nhỏ nhất của $\deg P$ nên phải có $R \equiv 0$, tức là $P\mid Q$.

Đấy, rồi giờ tôi trả lời sai gì từ đầu nào? Cậu tính lảng tránh việc cậu vô cớ vào công kích tôi trong khi tôi chả phát biểu gì sai phỏng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtien1255: 23-01-2024 - 20:00

[vutuanhien]

Nếu các bạn có thời gian cãi nhau thì mình nghĩ nên lấy thời gian đó thảo luận xem khái niệm mình nêu ra có những kết quả gì ấn tượng, hay vấn đề chỉ là cái tên gọi.

 

@Konstante có thể cho mọi người biết sơ qua những kết quả mà bạn thấy là ấn tượng về đa thức hủy. Khái niệm này không có trong các sách tiếng Anh. Chương trình ĐSTT ở Pháp hình như cũng khác các nước khác và mang hơi thở hình học nhiều hơn, theo như mình quan sát từ những người học ở Pháp. Còn những câu hỏi như trên của bạn thì không nên đặt ra vì ở đây đa số ai cũng tốt nghiệp đại học cả rồi. @ngtien1255 cũng nên bình tĩnh lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 23-01-2024 - 20:09

[Konstante]

À đấy, ít ra phải thế chứ, giờ mình tin bạn ngtien1255.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 23-01-2024 - 20:10

[Konstante]

Vâng, thưa bạn/anh/chị vutuanhien, câu hỏi của em đúng là vặt vãnh, cái này là do em ngờ rằng bạn ngtien1255 không biết gì thật, vì qua cách trả lời ở nhiều câu hỏi làm em có cảm giác như vậy, nhưng giờ thì thấy ít ra bạn ấy biết rằng phép chia euclide trên $K[X]$ là duy nhất.

 

Bạn ngtien1255, mình xin rút lại những lời công kích cá nhân từ phía mình, cái này mình sai hoàn toàn, mình xin lỗi bạn và mong bạn bỏ qua.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 23-01-2024 - 20:45

[perfectstrong]

Mặc dù đây không phải chuyên môn mình, nhưng mình cũng xin có vài lời can ngăn các bạn.

Chúng ta ở trên diễn đàn học thức, nên tôn trọng và lịch sự với lẫn nhau.

Chúng ta bàn luận trên tinh thần xây dựng, đóng góp, đừng nên lời to tiếng lớn.

Mong các bạn thông cảm.