Chủ đề này có 5 trả lời

[giappkk]

Cho $2$ viên xúc xắc $A$ và $B$. Ta tung duy nhất một lần. Gọi số nút trên $2$ viên xúc sắc $A$ và $B$ lần lượt là $x, y$. Tính xác suất để tổng số nút trên $2$ viên xúc sắc thỏa mãn điều kiên $4<x+y<7$.

[Nobodyv3]

XS là $\frac {1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-01-2024 - 14:50

[Konstante]

Lời giải mình trình bày sau đây cực kỳ nặng nề và chắc chắn có cách diễn dịch đơn giản hơn.

 

Việc tung mỗi con xúc sắc và quan sát các mặt xuất hiện được mô tả bởi không gian xác xuất $\left(\Omega, \mathcal{P\left(\Omega\right)}, P\right)$ trong đó $\Omega = \left\{1,\dots,6\right\}$ và $P$ là độ đo của xác xuất đều, nghĩa là $P\left(A\right) = \frac{\#A}{\#\Omega}$ với $A \subset \Omega$. Khi đó không gian xác suất mô tả hai con xúc sắc sẽ là $\left(\Omega \times \Omega, \mathcal{P\left(\Omega\right)} \otimes \mathcal{P\left(\Omega\right)}, P \otimes P \right)$ (với giả thiết hai con xúc sắc là độc lập), và xác xuất cần tìm chính là độ đo của tập con $$\left\{(x,y) \in \Omega \times \Omega; 4 < x+y < 7\right\}$$ với hàm độ đo $P\otimes P$, nói cách khác nó là giá trị của tích phân $$\int\limits_{\Omega \times \Omega} 1_{\left\{(x,y)  \in \Omega \times \Omega; 4 < x+y < 7\right\}} d P\otimes P$$Theo định nghĩa của độ đo tích (hoặc theo định lý Fubini) $$\int\limits_{\Omega \times \Omega} 1_{\left\{(x,y)  \in \Omega \times \Omega; 4 < x+y < 7\right\}} d P\otimes P = \int\limits_{\Omega} P\left(]4-y,7-y[\right) \, d P\left(y\right) = \sum\limits_{y \in \Omega} P\left(\left\{y\right\}\right) P\left(]4-y,7-y[\right)$$Vì $P\left(A\right) = \frac{\#A}{\#\Omega}$ nên $P\left(\left\{y\right\}\right) = \frac{1}{6}$ và $P\left(]4-y,7-y[\right) = \frac{7 - y - \max\left(0, 4 - y\right) - 1}{6}$ với mọi $y \in \Omega$, ta tính được $$\sum\limits_{y \in \Omega} P\left(\left\{y\right\}\right) P\left(]4-y,7-y[\right) = \frac{1}{36}\left(2+2+2+2+1+0\right) = \frac{1}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 24-01-2024 - 15:34

[Nobodyv3]

Wow, một lời giải rất hàn lâm! Ngưỡng mộ anh @Konstante.
Và đây, lời giải mộc mạc của em:
Để thỏa đề bài, ta thấy x, y có các khả năng : $$(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)$$Vậy XS cần tìm là :
$\frac {9}{6\cdot6}=\frac {1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 23-01-2024 - 20:31

[perfectstrong]

Lời giải của Konstante tuy phức tạp nhưng lại dễ mở rộng lên những xúc xắt nhiều mặt hơn, như 10, 12, 20, hay thậm chí là 120, 144 mặt

https://www.sciencea...es-can-die.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-01-2024 - 09:34

[ngtien1255]

Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là số nút trên 2 con xúc xắc, khi đó $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân bố đều trên $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Ta cần đi tính \[P(5\leq X + Y\leq 6).\] Ta có \[P(5\leq X + Y\leq 6) = \sum_{5\leq x + y\leq 6} P(X = x)P(Y = y) = \sum_{y=1}^6 P(5 - y\leq X\leq 6 - y) P(Y = y).\] Biểu thức cuối này có thể tính ra cụ thể bằng \[\frac{1}{6}\left(4\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} \frac{3}{2} = \frac{1}{4}.\]

Tổng quát hơn thì nếu $X$ và $Y$ là các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập, phân bố xác suất của $X + Y$ là \[P(a\leq X + Y\leq b) = \sum_{y} P(a-y\leq X\leq b-y) P(Y = y).\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngtien1255: 24-01-2024 - 10:19