Chủ đề này có 1 trả lời

[socialcultural]

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\frac{sin^{4}x+cos^{4}x+cos4x}{tan(\frac{\pi}{6}+x)cot(\frac{\pi}{3}-x)}=m$

[perfectstrong]

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\frac{sin^{4}x+cos^{4}x+cos4x}{tan(\frac{\pi}{6}+x)cot(\frac{\pi}{3}-x)}=m$

Không biết có sai ở đâu không nhưng ra hàm khá "xấu"

 

\[f\left( x \right) = \frac{{si{n^4}x + co{s^4}x + cos4x}}{{tan(\frac{\pi }{6} + x)cot(\frac{\pi }{3} - x)}} = m\]

Ta tính lần lượt từng số hạng:

\[\begin{align*}  & {\sin ^4}x = \frac{1}{8}\left( {3 - 4\cos 2x + \cos 4x} \right) \hfill \\   &{\cos ^4}x = \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 2x + \cos 4x} \right) \hfill \\  &\cos 4x = 8{\cos ^4}x - 8{\cos ^2}x + 1 \hfill \\  &{\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \cos 4x = \frac{1}{4}\left( {5\cos 4x + 3} \right) = 10{\cos ^4}x - 10{\cos ^2}x + 2 \hfill \\  & \tan \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cot \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = {\tan ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \end{align*} \]

Đặt $t = \tan x \in \mathbb R \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {t^2}}}$ thì ta có

\[f\left( x \right) = g\left( t \right) = \frac{{\frac{{10}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}} - \frac{{10}}{{1 + {t^2}}} + 2}}{{3{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 t}}{{\sqrt 3  - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {{t^2} - t + 1} \right)\left( {{t^2} + t - 1} \right){{\left( {\sqrt 3  - t} \right)}^2}}}{{3{{\left( {\sqrt 3 t + 1} \right)}^2}{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}\]

Khảo sát $g(t)$ trên WolframAlpha cho ra min toàn cục là $-10,59$

https://www.wolframa...sqrt 3 - t))^2)