Giải phương trình nghiệm nguyên không âm
$ 5z_1+10z_2+25z_3+z_4=200 $ Lời giải
\begin{align*}[x^{200}]& \dfrac 1{(1-x)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{25})}\\ &=[x^{225}]\dfrac{x^{25}}{(1-x)(1-x^{25})}\cdot
\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^{10})} \\ &=[x^{225}]\sum_{k\ge 0} \left\lfloor\dfrac{k+2}2 \right\rfloor x^{5k}\sum_{j\ge 0} \left\lfloor\dfrac j{25} \right\rfloor x^j \\ &=\sum_{k=0}^{45} \left\lfloor\dfrac{k+2}2 \right\rfloor\cdot \left\lfloor\dfrac{225-5k}{25} \right\rfloor \\ &=1463
\end{align*}
Ở đây có hai thứ cần bạn chứng minh:
\begin{equation}\label{s1} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac nm \right\rfloor x^n=\dfrac{x^m}{(1-x)(1-x^m)} \end{equation}
\begin{equation}\label{s2} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac {n+p}p \right\rfloor x^{mn}=\dfrac1{(1-x^m)(1-x^{pm})} \end{equation}
Ta cần tìm số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
5z_1+10z_2+25z_3+z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 &
\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
5z_1+10z_2+25z_3+z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 &
\end{matrix}\right.$
Giải phương trình nghiệm nguyên không âm
$ 5z_1+10z_2+25z_3+z_4=200 $ Lời giải
\begin{align*}[x^{200}]& \dfrac 1{(1-x)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{25})}\\ &=[x^{225}]\dfrac{x^{25}}{(1-x)(1-x^{25})}\cdot
\dfrac{1}{(1-x^5)(1-x^{10})} \\ &=[x^{225}]\sum_{k\ge 0} \left\lfloor\dfrac{k+2}2 \right\rfloor x^{5k}\sum_{j\ge 0} \left\lfloor\dfrac j{25} \right\rfloor x^j \\ &=\sum_{k=0}^{45} \left\lfloor\dfrac{k+2}2 \right\rfloor\cdot \left\lfloor\dfrac{225-5k}{25} \right\rfloor \\ &=1463
\end{align*}
Ở đây có hai thứ cần bạn chứng minh:
\begin{equation}\label{s1} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac nm \right\rfloor x^n=\dfrac{x^m}{(1-x)(1-x^m)} \end{equation}
\begin{equation}\label{s2} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac {n+p}p \right\rfloor x^{mn}=\dfrac1{(1-x^m)(1-x^{pm})} \end{equation}
Giải :
Để thuận tiện cho việc trình bày, ta xếp lại và xét hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}
z_1+5z_2+10z_3+25z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 && (1)
\end{matrix}\right.$
Lấy phương trình thứ nhất trong (1) trừ phương trình thứ hai vế với vế ta được :
$4z_2+9z_3+24z_4=\;150 $ (2)
Dễ thấy $0\leq z_4\leq6$, xét $(2)$ với từng giá trị $z_4$.
- $z_4=6$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=150-144=6$ :vô nghiệm.
- $z_4=5$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=30$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq3$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(40,3,2,5)$.
- $z_4=4$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=54$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq6$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(40,0,6,4)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(35,9,2,4)$.
- $z_4=3$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=78$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq8$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(35,6,6,3)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(30,15,2,3)$.
- $z_4=2$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=102$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq11$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(35,3,10,2)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(30,12,6,2)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(25,21,2,2)$.
- $z_4=1$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=126$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq14$, khi $z_3=14$ pt có
nghiệm là $(35,0,14,1)$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(30,9,10,1)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(25,18,6,1)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(20,27,2,1)$.
- $z_4=0$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=150$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq16$, khi $z_3=14$ pt có
nghiệm là $(30,6,14,0)$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(25,15,10,0)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(20,24,6,0)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(15,33,2,0)$.
Tóm lại, phương trình có $16$ nghiệm $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ đó là :
$\begin {align*}
&(40,3,2,5),(40,0,6,4),(35,9,2,4),(35,6,6,3),\\&(30,15,2,3),(35,3,10,2),(30,12,6,2),(25,21,2,2),\\&(35,0,14,1),(30,9,10,1),(25,18,6,1),(20,27,2,1),\\
&(30,6,14,0),(25,15,10,0),(20,24,6,0),(15,33,2,0)
\end{align*}$
===========
Để làm sanity check, ta dùng hàm sinh 2 biến, trong đó có biến đếm số tờ tiền $y$:
$G(x,y)=\frac {1}{(1-yx)(1-yx^5)(1-yx^{10})(1-yx^{25})}$
$\Rightarrow [y^{50}x^{200}]G(x,y)=\boldsymbol {16}$
Ta cần tìm số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
5z_1+10z_2+25z_3+z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 &
\end{matrix}\right.$
Tính bằng tay, thì hệ trên có $16$ nghiệm $(z_1,z_2,z_3,z_4)$
\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|cccc|}
\hline 33&2&0&15&27&2&1&20&21&2&2&25&15&2&3&30\\
\hline 9&2&4&35&3&2&5&40&24&6&0&20&18&6&1&25\\
\hline 12&6&2&30&6&6&3&35&0&6&4&40&15&10&0&25\\
\hline 9&10&1&30&3&10&2&35&6&14&0&30&0&14&1&35\\
\hline
\end{array}
tương ứng với $z_2\equiv 2\!\!\!\pmod 4\Rightarrow z_2\in\{2,6,10,14\}$
Post xong mới thấy Nobodyv3 đã giải phía trên rồi . Hàm sinh hai biến mình cũng xét tới nhưng triển khai ra đến $y^{50}$ xem ra bất khả thi, chí ít là với “siêu máy tính” wolframalpha.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-02-2024 - 22:39
Post xong mới thấy Nobodyv3 đã giải phía trên rồi . Hàm sinh hai biến mình cũng xét tới nhưng triển khai ra đến $y^{50}$ xem ra bất khả thi, chí ít là với “siêu máy tính” wolframalpha.
Em cũng giải tay nhưng lời giải của em khá là cồng kềnh, dễ nhầm lẫn!
Vâng, cứ nhờ anh WA rút hệ số hộ (anh ấy được sinh ra vốn để làm như vậy mà lị :=)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-02-2024 - 22:47
Giải :
Để thuận tiện cho việc trình bày, ta xếp lại và xét hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}
z_1+5z_2+10z_3+25z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 && (1)
\end{matrix}\right.$
Lấy phương trình thứ nhất trong (1) trừ phương trình thứ hai vế với vế ta được :
$4z_2+9z_3+24z_4=\;150 $ (2)
…
Để ý chỗ này phải có $z_3\equiv 2\!\!\!\pmod 4$
Từ đó xét 4 trường hợp $z_3\in\{2,6,10,14\}$
Nhanh và ngắn hơn xíu!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-02-2024 - 22:52
Xét phương trình $4x+9y+24z=150$.
Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,0,\frac{25}{4} \right )$, $B\left ( 0,\frac{50}{3},0 \right )$ và $C\left ( \frac{75}{2},0,0 \right )$
Hình chiếu của $\Delta ABC$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\Delta ABO$.
Đáp án bài toán chính là số điểm nguyên thỏa mãn $y=4k+2$ ($k\in \mathbb{N}$) của $\Delta ABO$ và bằng
$\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{\frac{50}{3}-2}{4} \right \rfloor}\left ( \left \lfloor \frac{50-3(4k+2)}{8} \right \rfloor+1 \right )=16$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-02-2024 - 23:54
Xét phương trình $4x+9y+24z=150$.
Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,0,\frac{25}{4} \right )$, $B\left ( 0,\frac{50}{3},0 \right )$ và $C\left ( \frac{75}{2},0,0 \right )$
Hình chiếu của $\Delta ABC$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\Delta ABO$.
Đáp án bài toán chính là số điểm nguyên thỏa mãn $y=4k+2$ ($k\in \mathbb{N}$) của $\Delta ABO$ và bằng
$\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{\frac{50}{3}-2}{4} \right \rfloor}\left ( \left \lfloor \frac{50-3(4k+2)}{8} \right \rfloor+1 \right )=16$.
Liên hệ hình học giải tích của chanhquocnghiem rất thú vị!
Mình xin đưa ra cách làm để các bạn khác đọc dễ hiểu hơn chút:
Với phương trình nghiệm nguyên không âm dạng
$ax+by+cz=n$ Trong đó $a,b,c,n$ là các số cho trước. Nếu chỉ để đếm số nghiệm thôi thì ta đổi biến thoả mái (phù hợp đk) sao cho đưa pt về dạng $x’+py’+qz’=m$
(Có một biến với hệ số 1).
Khi đó ta có $\begin{cases} 0\le y' \le \left\lfloor \frac mp \right\rfloor \\ 0\le z’ \le \left\lfloor \frac{m-py’}q \right\rfloor \end{cases} $
Số nghiệm sẽ là tổng $ \sum_{y’=0}^{\left\lfloor \frac{m}{p} \right\rfloor} \left( \left\lfloor \dfrac{m-py’}{q} \right\rfloor+1\right)$
Hoặc là: $ \begin{cases} 0\le z' \le \left\lfloor \frac {m}{q} \right\rfloor \\ 0\le y’ \le \left\lfloor \frac{m-qz’}{p} \right\rfloor \end{cases} $
Số nghiệm sẽ là tổng $\sum_{z’=0}^{\left\lfloor \frac mq \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{m-qz’}p \right\rfloor+1\right) $
—————
Cụ thể $4x+9y+24z=150$
Đặt $y=4k+2 \Rightarrow x+9k+6z=33$
Vậy số nghiệm pt là:
$\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{33}9 \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{33-9k}6 \right\rfloor+1\right)=\sum_{z=0}^{\left\lfloor \frac {33}6 \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{33-6z}9 \right\rfloor+1\right)=16$
Đã gửi 18-02-2024 - 23:32
cái dữ liệu 50
. Hàm sinh hai biến mình cũng xét tới nhưng triển khai ra đến $y^{50}$ xem ra bất khả thi, chí ít là với “siêu máy tính” wolframalpha.
