Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-02-2024 - 06:44
Hỏi anh A có bao nhiêu cách trả tiền món hàng giá 200 đồng với đúng 50 tờ tiền mệnh giá 1,5,10,25 đồng
#1
Đã gửi 18-02-2024 - 23:32
- E. Galois, perfectstrong và hxthanh thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 19-02-2024 - 08:28
$ 5z_1+10z_2+25z_3+z_4=200 $
Ở đây có hai thứ cần bạn chứng minh:
\begin{equation}\label{s1} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac nm \right\rfloor x^n=\dfrac{x^m}{(1-x)(1-x^m)} \end{equation}
\begin{equation}\label{s2} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac {n+p}p \right\rfloor x^{mn}=\dfrac1{(1-x^m)(1-x^{pm})} \end{equation}
- Nobodyv3 yêu thích
#3
Đã gửi 19-02-2024 - 08:53
$\left\{\begin{matrix}
5z_1+10z_2+25z_3+z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 &
\end{matrix}\right.$
- hxthanh và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Đã gửi 19-02-2024 - 09:25
Phần này để em suy nghĩ và tính tay xem sao...Giải phương trình nghiệm nguyên không âm
$ 5z_1+10z_2+25z_3+z_4=200 $
Ở đây có hai thứ cần bạn chứng minh:
\begin{equation}\label{s1} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac nm \right\rfloor x^n=\dfrac{x^m}{(1-x)(1-x^m)} \end{equation}
\begin{equation}\label{s2} \sum_{n=0}^\infty \left\lfloor\dfrac {n+p}p \right\rfloor x^{mn}=\dfrac1{(1-x^m)(1-x^{pm})} \end{equation}
- hxthanh yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#6
Đã gửi 19-02-2024 - 22:21
Để thuận tiện cho việc trình bày, ta xếp lại và xét hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}
z_1+5z_2+10z_3+25z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 && (1)
\end{matrix}\right.$
Lấy phương trình thứ nhất trong (1) trừ phương trình thứ hai vế với vế ta được :
$4z_2+9z_3+24z_4=\;150 $ (2)
Dễ thấy $0\leq z_4\leq6$, xét $(2)$ với từng giá trị $z_4$.
- $z_4=6$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=150-144=6$ :vô nghiệm.
- $z_4=5$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=30$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq3$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(40,3,2,5)$.
- $z_4=4$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=54$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq6$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(40,0,6,4)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(35,9,2,4)$.
- $z_4=3$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=78$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq8$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(35,6,6,3)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(30,15,2,3)$.
- $z_4=2$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=102$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq11$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(35,3,10,2)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(30,12,6,2)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(25,21,2,2)$.
- $z_4=1$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=126$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq14$, khi $z_3=14$ pt có
nghiệm là $(35,0,14,1)$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(30,9,10,1)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(25,18,6,1)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(20,27,2,1)$.
- $z_4=0$ : $(2) $ trở thành $4z_2+9z_3=150$ . Dễ thấy $0\leq z_3\leq16$, khi $z_3=14$ pt có
nghiệm là $(30,6,14,0)$, khi $z_3=10$ pt có
nghiệm là $(25,15,10,0)$, khi $z_3=6$ pt có
nghiệm là $(20,24,6,0)$, khi $z_3=2$ pt có
nghiệm là $(15,33,2,0)$.
Tóm lại, phương trình có $16$ nghiệm $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ đó là :
$\begin {align*}
&(40,3,2,5),(40,0,6,4),(35,9,2,4),(35,6,6,3),\\&(30,15,2,3),(35,3,10,2),(30,12,6,2),(25,21,2,2),\\&(35,0,14,1),(30,9,10,1),(25,18,6,1),(20,27,2,1),\\
&(30,6,14,0),(25,15,10,0),(20,24,6,0),(15,33,2,0)
\end{align*}$
===========
Để làm sanity check, ta dùng hàm sinh 2 biến, trong đó có biến đếm số tờ tiền $y$:
$G(x,y)=\frac {1}{(1-yx)(1-yx^5)(1-yx^{10})(1-yx^{25})}$
$\Rightarrow [y^{50}x^{200}]G(x,y)=\boldsymbol {16}$
- hxthanh và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#7
Đã gửi 19-02-2024 - 22:28
Tính bằng tay, thì hệ trên có $16$ nghiệm $(z_1,z_2,z_3,z_4)$Ta cần tìm số nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
5z_1+10z_2+25z_3+z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 &
\end{matrix}\right.$
\begin{array}{|cccc|cccc|cccc|cccc|}
\hline 33&2&0&15&27&2&1&20&21&2&2&25&15&2&3&30\\
\hline 9&2&4&35&3&2&5&40&24&6&0&20&18&6&1&25\\
\hline 12&6&2&30&6&6&3&35&0&6&4&40&15&10&0&25\\
\hline 9&10&1&30&3&10&2&35&6&14&0&30&0&14&1&35\\
\hline
\end{array}
tương ứng với $z_2\equiv 2\!\!\!\pmod 4\Rightarrow z_2\in\{2,6,10,14\}$
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#8
Đã gửi 19-02-2024 - 22:34
#9
Đã gửi 19-02-2024 - 22:46
Em cũng giải tay nhưng lời giải của em khá là cồng kềnh, dễ nhầm lẫn!Post xong mới thấy Nobodyv3 đã giải phía trên rồi . Hàm sinh hai biến mình cũng xét tới nhưng triển khai ra đến $y^{50}$ xem ra bất khả thi, chí ít là với “siêu máy tính” wolframalpha.
Vâng, cứ nhờ anh WA rút hệ số hộ (anh ấy được sinh ra vốn để làm như vậy mà lị :=)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-02-2024 - 22:47
- hxthanh yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#10
Đã gửi 19-02-2024 - 22:52
Để ý chỗ này phải có $z_3\equiv 2\!\!\!\pmod 4$Giải :
Để thuận tiện cho việc trình bày, ta xếp lại và xét hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}
z_1+5z_2+10z_3+25z_4&=\;200 \\
z_1+z_2+z_3+z_4&=\;50 && (1)
\end{matrix}\right.$
Lấy phương trình thứ nhất trong (1) trừ phương trình thứ hai vế với vế ta được :
$4z_2+9z_3+24z_4=\;150 $ (2)
…
Từ đó xét 4 trường hợp $z_3\in\{2,6,10,14\}$
Nhanh và ngắn hơn xíu!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 19-02-2024 - 22:52
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#11
Đã gửi 19-02-2024 - 23:43
Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,0,\frac{25}{4} \right )$, $B\left ( 0,\frac{50}{3},0 \right )$ và $C\left ( \frac{75}{2},0,0 \right )$
Hình chiếu của $\Delta ABC$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\Delta ABO$.
Đáp án bài toán chính là số điểm nguyên thỏa mãn $y=4k+2$ ($k\in \mathbb{N}$) của $\Delta ABO$ và bằng
$\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{\frac{50}{3}-2}{4} \right \rfloor}\left ( \left \lfloor \frac{50-3(4k+2)}{8} \right \rfloor+1 \right )=16$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-02-2024 - 23:54
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#12
Đã gửi 20-02-2024 - 01:15
Liên hệ hình học giải tích của chanhquocnghiem rất thú vị!Xét phương trình $4x+9y+24z=150$.
Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,0,\frac{25}{4} \right )$, $B\left ( 0,\frac{50}{3},0 \right )$ và $C\left ( \frac{75}{2},0,0 \right )$
Hình chiếu của $\Delta ABC$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\Delta ABO$.
Đáp án bài toán chính là số điểm nguyên thỏa mãn $y=4k+2$ ($k\in \mathbb{N}$) của $\Delta ABO$ và bằng
$\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{\frac{50}{3}-2}{4} \right \rfloor}\left ( \left \lfloor \frac{50-3(4k+2)}{8} \right \rfloor+1 \right )=16$.
Mình xin đưa ra cách làm để các bạn khác đọc dễ hiểu hơn chút:
Với phương trình nghiệm nguyên không âm dạng
$ax+by+cz=n$ Trong đó $a,b,c,n$ là các số cho trước. Nếu chỉ để đếm số nghiệm thôi thì ta đổi biến thoả mái (phù hợp đk) sao cho đưa pt về dạng $x’+py’+qz’=m$
(Có một biến với hệ số 1).
Khi đó ta có $\begin{cases} 0\le y' \le \left\lfloor \frac mp \right\rfloor \\ 0\le z’ \le \left\lfloor \frac{m-py’}q \right\rfloor \end{cases} $
Số nghiệm sẽ là tổng $ \sum_{y’=0}^{\left\lfloor \frac{m}{p} \right\rfloor} \left( \left\lfloor \dfrac{m-py’}{q} \right\rfloor+1\right)$
Hoặc là: $ \begin{cases} 0\le z' \le \left\lfloor \frac {m}{q} \right\rfloor \\ 0\le y’ \le \left\lfloor \frac{m-qz’}{p} \right\rfloor \end{cases} $
Số nghiệm sẽ là tổng $\sum_{z’=0}^{\left\lfloor \frac mq \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{m-qz’}p \right\rfloor+1\right) $
—————
Cụ thể $4x+9y+24z=150$
Đặt $y=4k+2 \Rightarrow x+9k+6z=33$
Vậy số nghiệm pt là:
$\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{33}9 \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{33-9k}6 \right\rfloor+1\right)=\sum_{z=0}^{\left\lfloor \frac {33}6 \right\rfloor} \left(\left\lfloor \dfrac{33-6z}9 \right\rfloor+1\right)=16$
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#13
Đã gửi 20-02-2024 - 02:02
$5x+10y+25z+t=200$
Đặt $t=5p$ (Do cả hai vế đều là bội của 5)
Ta có: $(x+p)+2y+5z=40$
Với mỗi giá trị $y,z$ thì $x+p=40-2y-5z$ có $(40-2y-5z)+1$ nghiệm.
Vậy nên số nghiệm của pt đã cho là:
$\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac{40}2\right\rfloor}\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{40-2y}5\right\rfloor}(41-2y-5z)=1463$
Hay “ít” phức tạp hơn là:
$\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{40}5\right\rfloor}\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac{40-5z}2\right\rfloor}(41-2y-5z)=1463$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-02-2024 - 02:15
- chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh