Chủ đề này có 2 trả lời

[Hahahahahahahaha]

cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Khi các đỉnh $A,B,C$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho $\Delta ABC$ luôn nhọn, chứng minh: bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ không đổi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 03-03-2024 - 08:17

[MHN]

Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$
Gọi $I$ là trung điểm $AH$
Ta có:$\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o\Rightarrow AB\bot BK;AC\bot CK\Rightarrow BK//CH;CK//BH$
$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành$\Rightarrow$ $M$ là trung điểm $BC$$\Rightarrow$ $M$ là trung điểm $HK$
$\Rightarrow$ $OM$ là đường trung bình $\Delta AHK$$OM//AH;OM=\frac{AH}{2}$
Ta có: $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AEHF$$\Rightarrow IE=IH=IF=IA$
$M$ là trung điểm $BC$$\Rightarrow MB=MC=MF=ME$
$\Delta IAE$ cân tại $I$$\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IEA}$;$\Delta MBE$ cân tại $M$$\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MEB}$
$\widehat{MEI}=\widehat{AEB}=90^o$
$\Delta MEI=\Delta MFI\Rightarrow \widehat{MEI}=\widehat{MFI}=90^o$
$\Rightarrow M;E;F$ Thuộc đường tròn đường kính $IM$
Mà:$M;D;E;F$ thuộc 1 đường tròn $\Rightarrow D;E;F$ thuộc đường tròn đường kính $IM$
Ta có:$OAIM$ là hình bình hành$\Rightarrow OA=IM=R$
$\Rightarrow \Delta DEF$ thuộc đường tròn bán kính $\frac{IM}{2}=\frac{R}{2}$ không đổi

Mô phỏng (thử nghiệm - click nút Play nhé!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-03-2024 - 12:03
Thêm mô phỏng (thử nghiệm)

[Hahahahahahahaha]

cách 2: Gọi $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của $H$ qua $BC,CA,AB$.

Gọi $R'$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$

khi đó dễ dàng cm được $A',B',C'$ thuộc đường tròn $(O)$ và $\Delta DEF \sim \Delta A'B'C'=> \frac{R'}{R}=\frac{DE}{A'B'}=\frac{1}{2}$ (đường trung bình)

$=> R'=\frac{R}{2}$ không đổi

nhận xét: hai tam giác đồng dạng với nhau thì $\frac{R'}{R}=k$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 03-03-2024 - 18:07