Chủ đề này có 2 trả lời

[MHN]

Với mỗi số $k$ nguyên dương, đặt $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^k+(\sqrt{2}-1)^k.$
Chứng minh rằng:$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$ với $m;n$ là số nguyên dương và $m>n$.

[tritanngo99]

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

 

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

 

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh

[perfectstrong]

Để ý rằng cặp số $(\sqrt 2 +1; \sqrt 2 -1)$ không hề có vai trò nào khác ngoài đẳng thức $(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)=1$. Vậy thì ta hoàn toàn có thể thay thế bằng một bộ $\left( {\alpha; \frac{1}{\alpha}} \right)$.