Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có $H$ và $H'$ lần lượt là trực tâm; $\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}$.
Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=\frac{BC}{B'C'}.$
Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=\frac{BC}{B'C'}.$
Bắt đầu bởi MHN, 19-03-2024 - 22:22
Lời giải MHN, 20-03-2024 - 23:46
Theo gợi ý của anh perfectstrong thì ta có lời giải sau:
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Kẻ đường kính $AD$; Hạ $OM\bot BC$
Ta có:$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$;$\widehat{BOC}=$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$OM\bot BC\Rightarrow BM=MC\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{BAC}$; $\widehat{OMB}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta OBM$
$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{AE}{BE}=\cot\widehat{BAC}$
$BHCD$ là hình bình hành$\Rightarrow HM=MD$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHD\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH$$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AH}{BC}=2\cot\widehat{BAC}$
Tương tự với $\Delta A'B'C'$ có $\frac{A'H'}{B'C'}=2\cot\widehat{B'A'C'}$
$\Rightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{A'H'}{B'C'}$
P/s: Bổ đề này đã được nhắc đến trong topic này:https://diendantoanh...1h-2-right-224/ nhưng chưa chứng minh được.
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 20-03-2024 - 05:17
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5004 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Quy về chứng minh $\frac{{AH}}{{BC}} = \cot A$
Gợi ý: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Hạ $OM \perp BC$ tại $M$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-03-2024 - 19:22
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 20-03-2024 - 16:39
MHN
-
- Thành viên
-
- 188 Bài viết
Trung sĩ
Điểm $O$ và $M$ ở đâu vậy ạ.
$\textup{My mind is}$ 
.
.
#4
Đã gửi 20-03-2024 - 19:22
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5004 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
À xin lỗi, mình quên ghi rõ. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 20-03-2024 - 23:46
MHN
-
- Thành viên
-
- 188 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
Theo gợi ý của anh perfectstrong thì ta có lời giải sau:
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Kẻ đường kính $AD$; Hạ $OM\bot BC$
Ta có:$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$;$\widehat{BOC}=$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$OM\bot BC\Rightarrow BM=MC\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{BAC}$; $\widehat{OMB}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta OBM$
$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{AE}{BE}=\cot\widehat{BAC}$
$BHCD$ là hình bình hành$\Rightarrow HM=MD$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHD\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH$$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AH}{BC}=2\cot\widehat{BAC}$
Tương tự với $\Delta A'B'C'$ có $\frac{A'H'}{B'C'}=2\cot\widehat{B'A'C'}$
$\Rightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{A'H'}{B'C'}$
P/s: Bổ đề này đã được nhắc đến trong topic này:https://diendantoanh...1h-2-right-224/ nhưng chưa chứng minh được.
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Kẻ đường kính $AD$; Hạ $OM\bot BC$
Ta có:$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$;$\widehat{BOC}=$sđ$\mathop {BC}^{\displaystyle\frown}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$OM\bot BC\Rightarrow BM=MC\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
$\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{BAC}$; $\widehat{OMB}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta OBM$
$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{AE}{BE}=\cot\widehat{BAC}$
$BHCD$ là hình bình hành$\Rightarrow HM=MD$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHD\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH$$\Rightarrow \frac{OM}{BM}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}\frac{AH}{BC}\Rightarrow \frac{AH}{BC}=2\cot\widehat{BAC}$
Tương tự với $\Delta A'B'C'$ có $\frac{A'H'}{B'C'}=2\cot\widehat{B'A'C'}$
$\Rightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{A'H'}{B'C'}$
P/s: Bổ đề này đã được nhắc đến trong topic này:https://diendantoanh...1h-2-right-224/ nhưng chưa chứng minh được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-03-2024 - 21:47
- perfectstrong và nonamebroy thích
$\textup{My mind is}$ .
.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
