Chủ đề này có 9 trả lời

[BaoParis]

Mình có 1 dãy các tập hợp có độ đo Lebesgue bằng 0 và cần tìm điều kiện để giới hạn cũng có độ đo bằng 0

Điều này có thể không luôn đúng, chẳng hạn gọi $X_k$ là tập các $x$ để cho $\frac{x}{k} = 0$, như vậy $X_k = \{0\}$ và có $\mu(X_k) = 0$ trên $\mathbb{R}$, với mọi $k$. Tuy nhiên $X_\infty = \mathbb{R}$.

Mong mọi người giúp đỡ. Xin cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaoParis: 21-03-2024 - 04:48

[nmlinh16]

Giới hạn của dãy tập hợp $X_k$ là $\{0\}$, còn $X_\infty$ thì không có liên hệ gì với dãy $(X_k)$, nên không có gì mâu thuẫn ở đây cả.

[BaoParis]

Cảm ơn bạn, sao giới hạn đó lại là $\{0\}$ nhỉ? Khi $k$ tới vô cùng thì tập các $x$ để $x/k = 0$ là cả tập $\mathbb{R}$ chứ nhỉ

[Konstante]

Bạn nên thận trọng với khái niệm giới hạn của một dãy các tập hợp: bạn thử nghĩ lại về định nghĩa cổ điển về sự hội tụ và giới hạn của một dãy số thực, sẽ thấy là định nghĩa này không có ý nghĩa rõ ràng trong trường hợp dãy tập hợp.

 

Thông thường người ta không dùng khái niệm $\lim\limits_{n \to \infty} X_n$ mà dùng khái niệm $\lim\sup\limits_{n \to \infty} X_n$ được định nghĩa bởi $$\lim\limits_{n \to \infty}\sup X_n = \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}}\bigcup\limits_{k \geq n} X_k$$Với định nghĩa này, nếu $l\left(X_n\right) = 0$ với mọi $n$ thì $\sum\limits_{n\in \mathbb{N}} l\left(X_n\right) < \infty$, theo bổ đề Borel-Cantelli ta có ngay $l\left(\lim\limits_{n \to \infty}\sup X_n\right) = 0$.

 

Còn về thắc mắc của bạn, thì như nmlinh16 đã nói, $X_{\infty}$ không có liên quan gì đến $\left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$. Cụ thể là tập hợp $\left\{x \in \mathbb{R}; \frac{x}{\infty} = 0 \right\}$, với quy ước rằng $\frac{x}{\infty} = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, đúng là $\mathbb{R}$ thật, nhưng nó không phải là giới hạn của dãy $\left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ (dãy này gồm toàn các tập hợp $\left\{0\right\}$, nên có giới hạn, như nmlinh16 đã nói, là $\left\{0\right\}$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 21-03-2024 - 10:31

[BaoParis]

Cảm ơn bạn. Vậy mối quan hệ giữa $\lim \sup$ và độ đo Lebesgue là gì nhỉ? Mình thấy ở đây có 2 định nghĩa về giới hạn tập hợp, cái dùng indicator có vẻ như là độ đo: https://en.wikipedia...theoretic_limit

Mình thấy có vẻ như có thể chứng minh giới hạn trong câu hỏi của mình bằng Lebesgue dominated convergence theorem. Chọn dãy $(f_k)$ với từng $f_k$ là hàm indicator của tập $X_k$, nếu dãy này bị chặn đều bởi hàm indicator của tập $X$ là giới hạn của $(X_k)$ thì coi như xong nhưng có vẻ không phải luôn luôn

[nmlinh16]

Bạn chỉ dùng được định lý hội tụ bị chặn nếu $(X_k)$ đúng là hội tụ về $X$ (theo nghĩa $\limsup X_k = \liminf X_k = X$) và khi các tập $(X_k)$ nằm trong một tập có độ đo hữu hạn (điều kiện áp dụng định lý là hàm chỉ thị phải khả tích, tức là độ đo của tập đó phải hữu hạn!). Còn trong trường hợp tổng quát khi $\limsup X_k \supsetneq \liminf X_k$ thì bạn chỉ có bất đẳng thức để so sánh thôi: dùng bổ đề Fatou.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 21-03-2024 - 17:37

[BaoParis]

Cản ơn bạn. Có định lý nào liên hệ giữa độ đo của tập $X_\infty$ với độ đo từng phần tử của dãy $(X_k)$ không bạn nhỉ
Có thể cần thêm tính hội tụ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaoParis: 21-03-2024 - 20:11

[Konstante]

Như nmlinh16 đã nhắc đến, bổ đề Fatou nói về quan hệ giữa độ đo nói chung (không nhất thiết Lebesgue) của các tập $X_n$ và giới hạn của dãy $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ như sau $$\begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\inf \mu\left(X_n\right) &\geq \mu\left(\lim\limits_{n \to \infty}\inf X_n\right) \\ \lim\limits_{n \to \infty}\sup \mu\left(X_n\right) &\leq \mu\left(\lim\limits_{n \to \infty}\sup X_n\right)\end{align*}$$

 

Còn về bài toán ban đầu của bạn, tính chất cơ bản của độ đo nói rằng $\mu\left(\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} X_n \right) \leq \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \mu\left(X_n\right)$ nên có thể thấy ngay là không tồn tại một dãy như bạn muốn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 22-03-2024 - 06:35

[BaoParis]

Cảm ơn bạn. Đó là về mối quan hệ giữa độ đo của từng phần tử của dãy $(X_k)$ với giới hạn của dãy đó, cái mình hỏi là quan hệ giữa độ đo của từng phần tử của dãy $(X_k)$ với độ đo của tập $X_\infty$ ấy. Cụ thể hơn thì có điều kiện gì để $X_\infty$ là giới hạn của dãy $(X_k)$ nhỉ? Xong mình áp dụng mấy quan hệ trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaoParis: 22-03-2024 - 06:51

[Konstante]

Trong trường hợp này thì tập $X_{\infty}$ không có mối quan hệ gì đặc biệt với các tập $X_{n}$, cụ thể là $X_{\infty}$ không bao giờ có thể là giới hạn của dãy $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Thực ra là nếu $\mu\left(X_n\right) = 0$ với mọi $n$ thì giới hạn của $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ (nếu có) sẽ luôn có độ đo bằng $0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 22-03-2024 - 17:40