Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

Tính số nghiệm nguyên của :
$x_1+x_2+...+ x_9+x_{10}=n $
biết rằng $0\leq x_i\leq 10,\; n>0$

[hxthanh]

$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$

Xin phép dự đoán (không phải lời giải) (căn cứ theo phương pháp bù trừ)

$S_n=\sum_{k=0}^{\fl{\frac{n}{11}}}(-1)^k{10\choose k}{n+9-11k\choose 9}$

Một vài kết quả (cần kiểm chứng)

[Nobodyv3]

Ta có :
$$\begin{align*}
[x^n]&(1-x)^{-10}(1-x^{11})^{10}\\
&=[x^n]\sum_{k=0}^\infty\binom{k+9}{k}x^k\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{k+9}{k}[x^{n-k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n-k+9}{n-k}[x^{k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor}\binom{n-11k+9}{n-11k}[x^{11k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\min\{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor,10\}}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k\\
\end{align*}$$Do $\binom{s}{r}=0 $ nếu  $r>s$ nên biểu thức cuối có thể viết gọn lại:
$\boldsymbol {\sum_{k\geq0}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k}$
- Kết quả trùng khớp Thầy ạ.

[hxthanh]

Đúng rồi, biểu thức của em mới chính xác!
Vì khi viết ${n+9-11k\choose 9}$ thì kể cả $n+9-11k<0$ thì nó vẫn xác định (và khác 0)