Mọi người giúp em bài này với ạ.
Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$
Lời giải yungazier, 28-03-2024 - 23:57
Mọi người giúp em bài này với ạ.
Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$
Em đã giải ra rồi ạ, đây là lời giải của em.
Gọi $x\in V$. Ta có $x=T(x) + (x - T(x))$.
$T(x) \in imT$.
Xét $T(x-T(x))=T(x)-T(T(x))=T(x)-T^2(x)=0 \rightarrow x-T(x) \in kerT$
Vậy $V= kerT+imT$
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 28-03-2024 - 23:57
yungazier
-
- Thành viên mới
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
✓ Lời giải
Mọi người giúp em bài này với ạ.
Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$
Em đã giải ra rồi ạ, đây là lời giải của em.
Gọi $x\in V$. Ta có $x=T(x) + (x - T(x))$.
$T(x) \in imT$.
Xét $T(x-T(x))=T(x)-T(T(x))=T(x)-T^2(x)=0 \rightarrow x-T(x) \in kerT$
Vậy $V= kerT+imT$
- perfectstrong và nmlinh16 thích
#3
Đã gửi 29-03-2024 - 23:26
Konstante
-
- Thành viên
-
- 103 Bài viết
Trung sĩ
Ánh xạ $T$ chính là phép chiếu nên $\ker T \oplus \textrm{im} \, T = V$: điều này có thể thấy về mặt trực giác (qua định lý factorisation) bởi $T\circ T = T$ tương đương với $T\rvert_{\textrm{im} \, T} = id$. Thực ra để $\ker T \oplus \textrm{im} \, T = V$ thì chỉ cần $T\rvert_{\textrm{im} \, T}$ là một isomorphism là đủ, ví dụ khi $T \circ T = \lambda T$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 29-03-2024 - 23:27
- yungazier yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
