Cho $a;b;c;d;e$ là các số nguyên thỏa mãn:$$a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0.$$
Chứng minh rằng: $abcde$ chia hết cho $42$.
Lời giải minhduc38, 06-05-2024 - 20:57
Giả sử cả 5 số không chia hết cho 7, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 7), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 7$ nên tồn tại một số chia hết cho 7 và $abcde \vdots 7$.
Giả sử cả 5 số đều lẻ, nên $\sum a^3$ lẻ (mâu thuẫn), do đó $abcde \vdots 2$.
Giả sử cả 5 số không chia hết cho 3, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 9), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 9$ nên tồn tại một số chia hết cho 3 và $abcde \vdots 3$
Do $\gcd(2, 3, 7) = 1$ nên $abcde \vdots 42$
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 29-03-2024 - 23:37
MHN
-
- Thành viên
-
- 211 Bài viết
Thượng sĩ
.
#2
Đã gửi 06-05-2024 - 20:57
minhduc38
-
- Thành viên mới
-
- 4 Bài viết
Lính mới
✓ Lời giải
Giả sử cả 5 số không chia hết cho 7, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 7), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 7$ nên tồn tại một số chia hết cho 7 và $abcde \vdots 7$.
Giả sử cả 5 số đều lẻ, nên $\sum a^3$ lẻ (mâu thuẫn), do đó $abcde \vdots 2$.
Giả sử cả 5 số không chia hết cho 3, nên $a^{3}, b^{3}, c^3, d^3, e^3 \equiv 1; -1$ (mod 9), mà $\sum a^3 = 0 \vdots 9$ nên tồn tại một số chia hết cho 3 và $abcde \vdots 3$
Do $\gcd(2, 3, 7) = 1$ nên $abcde \vdots 42$
- perfectstrong, Hahahahahahahaha và tomeps thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
