Hạ sĩ
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa cung CD không chứa hai điểm A và B. Tia AP cắt đường thẳng BC tại E, tia BP cắt đường thẳng AD tại F.
Chứng minh $\frac{EF}{BA}+\frac{BA}{EF}+\frac{AF}{BE}+\frac{BE}{AF}\leq \frac{PE}{PA}+\frac{PA}{PE}+\frac{PF}{PB}+\frac{PB}{PF}$
Trung sĩ
do $P$ là điểm chính giữa cung $CD$ nhỏ nên dễ dàng cm được $\widehat{PFD}=\widehat{PEC}$
nên tg $ABEF$ nội tiếp
nên ta có:
+) $\Delta PEF \sim \Delta PBA =>\left\{\begin{matrix}\frac{EF}{BA}=\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}(1) & & \\ \frac{BA}{EF}=\frac{PB}{PE}=\frac{PA}{PF}(2) & & \end{matrix}\right.$
$(1)=>\frac{EF}{BA}=\sqrt{\frac{PE}{PB}.\frac{PF}{PA}}\leq \frac{1}{2}(\frac{PE}{PA}+\frac{PF}{PB})$
tương tự $(2)=>\frac{BA}{EF}=\sqrt{\frac{PB}{PE}.\frac{PA}{PF}}\leq \frac{1}{2}(\frac{PB}{PF}+\frac{PA}{PE})$
tương tự $\Delta PBE \sim \Delta PAF$
$=>\frac{AF}{BE}\leq \frac{1}{2}(\frac{PA}{PE}+\frac{PF}{PB});\frac{BE}{AF}\leq \frac{1}{2}(\frac{PE}{PA}+\frac{PB}{PF})$
cộng lại các bđt trên suy ra dpcm
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
__ Pauline Kael __
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
