2 replies to this topic

[nguyenlvtNo1]

Một bài hình dựa theo câu hình IMO 1995

Em suy nghĩ nhiều ngày nhưng vân chưa nghĩ ra được, mọi người góp ý và chia sẻ hướng với ạ. Em xin cảm ơn 

Cho hai đường tròn (O;R);(O',r), R>r có hai tiếp tuyến chung XY,X'Y' trong đó OO' < R +r, X,X' thuộc (O);Y,Y' thuộc (O'); XY và X'Y' cắt nhau tại S. Kẻ tia SX cắt (O) tại A,C, cắt (O') tại B,D sao cho A,B,C,D,S theo thứ tự và phân biệt. Giả sử (O),(O') cắt nhau tại P,Q. Láy I thuộc PQ. BI,CI cắt lại đường tròn (O'),(O) tại M,N. Chứng minh ba đường thẳng AM,DN,PQ đồng quy

Edited by perfectstrong, 15-04-2024 - 00:36.
Tiêu đề

[Dat lon don]

Đợi tôi tí nhé 

[Dat lon don]

( hình như đề bài bạn sai phk là AN,DM,PQ đồng quy )

 siêu gà hình nên có gì ngộ nhận thông cảm nhé

 

Gọi $AN$ giao $DM$ tại $S$.

Dễ thấy $G$ là tâm vị tự biến $(O') \rightarrow (O)$ :

hay qua phép vị tự trên : $Y \mapsto X ; D \mapsto C; B \mapsto A; O'\mapsto O$

$\Rightarrow \angle YO'D = \angle XOC \Rightarrow$ Tứ giác $XYDA$ nội tiếp 

Xét phét nghịch đảo tâm $S$ tỉ số $k=SX.SY$, ta có :

    $Y \mapsto X; D \mapsto A$ (vì $XYDA$ nội tiếp) $; Y' \mapsto X'$ ( do $XYY'X'$ nội tiếp ) :

do dó qua phép nghịch đảo trên biến $(O') \rightarrow (O)$. Do đó biến $B \mapsto C$ hay $SB.SC=SD.SA$

Gọi $SM$ cắt $(O)$ tại $N'$ : 

ta có qua phép nghịch đảo trên sẽ biến $M \mapsto N'$ hay $SM.SN'=SD.SA=SB.SC \Rightarrow BCMN'$ nội tiếp 

mà ta thấy $IC.IN=IB.IM$ nên tứ giác $BCNM$ nội tiếp  

 do đó $N \equiv N'$

hay $MNDA$ nội tiếp 

Do đó $SN.SA=SM.SD$ nên $S$ thuộc trục đẳng phương của $(O)$ và $(O')$

Do đó $S,P,Q$ thẳng hàng hay $AN,DM,PQ$ đồng quy 

Edited by perfectstrong, 16-04-2024 - 01:37.
LaTeX