Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn với AC là đường kính. a) Trên BC lấy E sao cho AE ∥CD. Chứng minh △CEA ∽ △DAB. b) EO cắt BD tại F. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
#1
Đã gửi 21-04-2024 - 20:28
#2
Đã gửi 21-04-2024 - 22:54
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-04-2024 - 19:56
#3
Đã gửi 22-04-2024 - 19:44
Đề này tứ giác sai đỉnh hoặc là sai đường kính rồi.
Hình đây ạ
#4
Đã gửi 22-04-2024 - 21:07
Mình góp một lời giải, mong sẽ có cách ngắn hơn
a) Ta có: $\angle ACE = \angle ADB$ và $\angle EAC = \angle ACD =\angle ABD$ nên có đpcm
b) Gọi $AE$ cắt lại $(O)$ tại $H$, $CH$ cắt $AB$ tại G, $EG$ cắt $AC$ tại $K$, $BF$ cắt $AC$ tại $I$, $EG$ cắt $HB$ tại $N$
Áp dụng định lý Menelauýt cho $\triangle EOC$, cát tuyến $FBI$
$$\frac{EF}{OF}.\frac{OI}{CI}.\frac{CB}{EB}=1$$
$$\Rightarrow \frac{EF}{OF} = \frac{BE.CI}{BC.OI}(*)$$
Dễ thấy $CH,AB,EK$ là ba đường cao đồng quy tại trực tâm G của $\triangle AEC$ và tứ giác $AHCD$ là hình chữ nhật nên
$$\angle IBC = \angle CAD = \angle HCA = \angle HEN$$
$$\angle ICB = \angle NHF$$
Do đó $\triangle IBC \sim \triangle NEH(g-g) \Rightarrow \frac{CI}{BC}=\frac{HN}{HE}(1)$
Ta cũng có:
$$\angle BOI = \angle OBA + \angle OAB = 2\angle OAB = 2\angle KHG = \angle NHK$$
$$\angle BIO =180^o - \angle BIC = 180^o - \angle HNF = \angle HNK$$
Do đó $\triangle BOI \sim \triangle KHN (g-g) \Rightarrow \frac{BO}{OI}=\frac{KH}{HN}(2)$
Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{HK}{HE}$
Mà $\triangle HBE \sim \triangle HAK (g-g) \Rightarrow \frac{HK}{HE} = \frac{AK}{BE}$, từ đó suy ra
$$\frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{AK}{BE}$$
$$\Rightarrow \frac{BE.CI}{BC.OI} = \frac{AK}{BO}=\frac{AK}{AO}$$
Kết hợp với $(*) \Rightarrow \frac{EF}{FO} = \frac{AK}{AO} \Rightarrow EK || FA $
Mà $EK$ vuông góc $AC$ nên $FA$ vuông góc $AC$ hay ta có đpcm
- npthao0910 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh