Chủ đề này có 3 trả lời

[npthao0910]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn với AC là đường kính.

a) Trên BC lấy E sao cho AE ∥CD. Chứng minh △CEA ∽ △DAB.

b) EO cắt BD tại F. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

[MHN]

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-04-2024 - 19:56

[npthao0910]

Đề này tứ giác sai đỉnh hoặc là sai đường kính rồi.

Hình đây ạ

[Duc3290]

Mình góp một lời giải, mong sẽ có cách ngắn hơn

a) Ta có: $\angle ACE = \angle ADB$ và $\angle EAC = \angle ACD =\angle ABD$ nên có đpcm

b) Gọi $AE$ cắt lại $(O)$ tại $H$, $CH$ cắt $AB$ tại G, $EG$ cắt $AC$ tại $K$, $BF$ cắt $AC$ tại $I$, $EG$ cắt $HB$ tại $N$

Áp dụng định lý Menelauýt cho $\triangle EOC$, cát tuyến $FBI$

$$\frac{EF}{OF}.\frac{OI}{CI}.\frac{CB}{EB}=1$$

$$\Rightarrow \frac{EF}{OF} = \frac{BE.CI}{BC.OI}(*)$$

Dễ thấy $CH,AB,EK$ là ba đường cao đồng quy tại trực tâm G của $\triangle AEC$ và tứ giác $AHCD$ là hình chữ nhật nên

$$\angle IBC = \angle CAD = \angle HCA = \angle HEN$$

$$\angle ICB = \angle NHF$$

Do đó $\triangle IBC \sim \triangle NEH(g-g) \Rightarrow \frac{CI}{BC}=\frac{HN}{HE}(1)$

Ta cũng có: 

$$\angle BOI = \angle OBA + \angle OAB = 2\angle OAB = 2\angle KHG = \angle NHK$$

$$\angle BIO =180^o - \angle BIC = 180^o - \angle HNF = \angle HNK$$

Do đó $\triangle BOI \sim \triangle KHN (g-g) \Rightarrow \frac{BO}{OI}=\frac{KH}{HN}(2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{HK}{HE}$

Mà $\triangle HBE \sim \triangle HAK (g-g) \Rightarrow \frac{HK}{HE} = \frac{AK}{BE}$, từ đó suy ra

$$\frac{CI.BO}{CB.OI}=\frac{AK}{BE}$$

$$\Rightarrow \frac{BE.CI}{BC.OI} = \frac{AK}{BO}=\frac{AK}{AO}$$

Kết hợp với $(*) \Rightarrow \frac{EF}{FO} = \frac{AK}{AO} \Rightarrow EK || FA $

Mà $EK$ vuông góc $AC$ nên $FA$ vuông góc $AC$ hay ta có đpcm