Chủ đề này có 2 trả lời

[franceviete]

Trên Wiki (https://en.wikipedia...Weak_derivative) họ có giải thích như thế này ạ:

 

The characteristic function of the rational numbers ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ is nowhere differentiable yet has a weak derivative. Since the Lebesgue measure of the rational numbers is zero,

 

$$\int 1_{\mathbb{Q}}(t)\varphi (t)dt=0$$

 

Thus $v(t)=0$ is a weak derivative of ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$. Note that this does agree with our intuition since when considered as a member of an $L^p$ space,

${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ is identified with the zero function.

 

Em không hiểu tại sao họ lại suy ra được $v(t)=0$ từ biểu thức tích phân trên. Anh/chị có thể giải thích chi tiết hơn bằng công thức tích phân từng phần, như đúng định nghĩa của đạo hàm yếu được không ạ? 

 

Em xin cảm ơn ạ! 

 

[nmlinh16]

Lời giải

Trên mỗi đoạn $[a,b]$, ta có $\int_a^b \varphi(t) v(t) \, dt = -\int_a^b \varphi'(t) 1_{\mathbb{Q}}(t) \, dt = 0 = \int_a^b \varphi(t) \cdot 0\, dt$ với mọi hàm thử $\varphi$ (tức là hàm khả vi vô hạn thỏa mãn $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$), nên theo định nghĩa của hàm suy rộng, ta có $v(t) = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 22-04-2024 - 00:07

[franceviete]

Trên mỗi đoạn $[a,b]$, ta có $\int_a^b \varphi(t) v(t) \, dt = -\int_a^b \varphi'(t) 1_{\mathbb{Q}}(t) \, dt = 0 = \int_a^b \varphi(t) \cdot 0\, dt$ với mọi hàm thử $\varphi$ (tức là hàm khả vi vô hạn thỏa mãn $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$), nên theo định nghĩa của hàm suy rộng, ta có $v(t) = 0$.

Dạ em cảm ơn anh nhiều ạ!