4 replies to this topic

[MHN]

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB, ADC$; $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ ($B$ và $M$ cùng nằm trên một mặt phẳng bờ $AH$). Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.

Edited by MHN, 25-04-2024 - 22:44.

[nguyenhuybao06]

Bài này nó chính là định lí Pascal suy biến thành tiếp tuyến.   

[MHN]

Bài này nó chính là định lí Pascal suy biến thành tiếp tuyến.

Bạn có thể nêu rõ cách làm bài này của bạn được không?

[perfectstrong]

Trong phạm trù THCS thì bạn không thể dùng định lý Pascal được.

Mình chưa làm nhưng hướng làm chắc sẽ là dùng phương pháp trùng.

[tritanngo99]

Best Answer

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB, ADC$; $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ ($B$ và $M$ cùng nằm trên một mặt phẳng bờ $AH$). Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.

Trước tiên để giải quyết bài toán này, mình xin trình bày các bổ đề liên quan (có kèm chứng minh) như sau:

a) Bổ đề 1: Định lý Menelaus

b) Bổ đề 2: Định lý Pascal

Cụ thể như sau:

a) Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và 3 điểm $A',B',C'$ trên các đường thẳng chứa các cạnh BC,CA,AB sao cho: hoặc cả ba điểm $A',B',C'$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc 1 trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để $A',B',C'$ thẳng hàng là ta có hệ thức: $\frac{AB'}{B'C}.\frac{CA'}{A'B}.\frac{BC'}{C'A}=1$

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://www.molympia...y-menelaus.html

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, sử dụng định lý Talet nên sẽ dễ tiếp cận với THCS.

b) Định lý Pascal: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn, $H,K,I$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $ED$, $BC$ và $EF$, $AF$ và $CD$. Chứng minh rằng: $I,H,K$ thẳng hàng

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://julielltv.wo...dinh-li-pascal/

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, có sử dụng định lý Menelaus, nên cũng sẽ dễ tiếp cận với THCS

 

Sau khi chứng minh được định lý Pascal, ta sử dụng một chú ý quan trọng nữa như sau:

 

Chú ý: Đó chính là giả sử Ta có một đường tròn $(O)$ và một đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại 2 điểm $D,E$. Khi $D$ trùng $E$ thì khi đó đường thẳng $d$ chính là tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$.

 

 

Bây giờ, quay trở lại bài toán ban đầu đã cho, mình sẽ áp dụng định lý Pascal 3 lần để giải quyết bài toán này, cụ thể như sau:

Gọi $R$ là giao điểm của $EM,DN$ ; $S$ là giao điểm của $MC,BC$ và $T$ là giao điểm của $EN,DM$

 

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,E,D$ ta có: $MM\cap NN = A ; MD\cap NE = T; ME\cap DN=R$ thẳng hàng (1)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,B,C$ ta có: $MM\cap NN=A ; MC\cap BN=S ; MB\cap NC = O$ thằng hàng

(2)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $E,M,B,C,D,N$ ta có: $EN\cap DM=T ; EC\cap DB=H; MC\cap BN=S$ thẳng hàng (3)

 

Từ (1),(2) và (3) ta suy ra được các điểm: $A,R,T,H,S,O$ thẳng hàng hay $AH,BM,CN$ đồng quy tại $O$ và ta có điều phải chứng minh

 

Ps: Ngoài ta để có thể tham khảo các dạng toán liên quan đến định lý Pascal, bạn có thể tham khảo thêm tại đây: https://nguyenvanlin...cal-theorem.pdf và theo mình đối với THCS, mà học trước những cái này tuy hơi khó nhưng sẽ có ích sau này nếu bạn đi tiếp lên cấp 3.

Edited by tritanngo99, 04-05-2024 - 15:25.