Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhuybao06]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ và trực tâm $H.$ Trên tia đối của $ED$ và $FD$ lấy $P$ và $Q$ sao cho $PE=EF=FQ.$

a) Chứng minh rằng $PF, QE, AO$ đồng quy.

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC.$ Chứng minh rằng $Q,$ $P,$ $D,$ $M$ đồng viên.

c) Gọi $N$ là giao điểm $PM$ với $AC,$ $T$ là giao điểm $QM$ với $AB,$ $L$ là giao điểm $BA$ với $PQ,$ $S$ là giao điểm $CA$ với $PQ.$ Chứng minh rằng $P,$ $L,$ $A,$ $N$ đồng viên và $Q,$ $S,$ $A,$ $T$ đồng viên (tự chế).

d) Chứng minh rằng $(APN)$ và $(AQT)$ tiếp xúc trong với $(PQD)$ (tự chế).

e) Gọi $EF$ giao đường tròn $(O)$ tại $W,$ $Z.$ Chứng minh rằng $W,$ $Z$ đều thuộc $(PQD).$

f) Gọi $B_{1}$ là trung điểm $AO.$ Chứng minh rằng $B_{1}$ là tâm $(PQD).$

g) Gọi $FP$ giao $AC$ tại $J,$ $EQ$ giao $AB$ tại $K,$ $D_{1}$ là trung điểm $EF,$ $C_{1}$ là giao điểm của $AD_{1}$ với $(AKJ).$ Chứng minh rằng $(ENM),$ $(TFM),$ $(APN),$ $(QAT),$ $(DEF),$ $(D_{1}JE),$ $(D_{1}KF)$ cùng đi qua $C_{1}$ (tự chế).
P/s: Mong mọi người cùng góp lời giải để hoàn thiện bài toán ạ. Chúc tất cả thành viên diễn đàn VMF 30/4 vui vẻ ạ. Hình có thể tham khảo dưới đây ạ.  

File gửi kèm

•  png2pdf (1).pdf   365.81K   29 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 30-04-2024 - 16:59

[MHN]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ và trực tâm $H.$ Trên tia đối của $ED$ và $FD$ lấy $P$ và $Q$ sao cho $PE=EF=FQ.$
a) Chứng minh rằng $PF, QE, AO$ đồng quy.

Kẻ đường kính $AI$ của đường tròn $(O)$ cắt $BE$ tại $A_{1}$.
Ta có:$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o \Rightarrow BCEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$
$\widehat{ABC}=\widehat{AIC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {AC}^{\displaystyle\frown} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AIC}$
Mà: $BE//CI \Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow OA\bot EF$
$\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ ($BCEF$ nội tiếp)
$\Delta BAD \sim \Delta BCF \Rightarrow \frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BF}$; $\widehat{ABC}$ chung $\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DBF$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{BFD}=\widehat{QFA} \Rightarrow \widehat{QFA}=\widehat{AFE}$
$\Rightarrow FA$ là phân giác $\widehat{QFE} \Rightarrow FA\bot QE$
CMTT cũng có :$FP\bot AE$
Xét $\Delta AEF$ có $OA\bot EF;FP\bot AE;EQ\bot AF \Rightarrow PF;OA;QE$ đồng quy.

P/s: Vì chưa thể giải hết tất cả các câu để thống nhất các đường phụ, có thể mình gọi khác các bạn nên mong các bạn thông cảm.
Câu a dễ nhất nên mình xin giải trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 30-04-2024 - 23:47

[dinhvu]

Góp vui câu b:

Có$PE=EF=QF$ và $FM=EM=BC/2$ nên ta sẽ chứng minh $ \widehat{QFM}= \widehat{PEM}$
Ta có $ \widehat{QFM}= 2\widehat{AFE}+ \widehat{EFM}=2\widehat{AFE}+ \widehat{EDC}=2\widehat{ACB}+\widehat{BAC}$ ( Dễ thấy EFDM nội tiếp)

và $ \widehat{PEM}=360^{\circ} -\widehat{AEP}-\widehat{AEF}-\widehat{FEM}=360^{\circ}-2\widehat{AEF}-\widehat{BDF}=360^{\circ}-2\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=2\widehat{ACB}+\widehat{BAC}$

Từ đó suy ra $\Delta QFM = \Delta PEM (c-g-c)$ hay $\widehat{DQM}=\widehat{DPM}$ hay $QPDM$ là tứ giác nội tiếp(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 01-05-2024 - 07:50

[dinhvu]

Câu c:
Có $ \widehat{LAN}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}$ mà $\widehat{LPN}=\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$ do $QPDM$ nội tiếp

Do đó $\widehat{LAN}+\widehat{LPN}=180^{\circ} $ hay $LAPN$ nội tiếp. Chứng minh tương tư tứ giác còn lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 01-05-2024 - 07:55