Chủ đề này có 4 trả lời

[suhaoswag]

Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên sao cho $P(\sqrt{2})=3$. Chứng minh P(3) không là một số chính phương.

Mn giúp mình bài này với ạ, tks a lot!

[dinhvu]

Đặt $P(x)=ax^2+bx+c$ thì ta có $P(\sqrt{2})=2a+\sqrt{2}b+c=3$ nên $2a+c-3=-\sqrt{2}b$ Mà $P(x)$ có hệ số nguyên nên $a,b,c$ là số nguyên

Từ đó kéo theo $b=0$ và $2a+c=3$ Nên $P(3)=9a+c=7a+3$ Mà số chính phương chia $7$ dư $0,1,2,4$ Nên đpcm

[Duc3290]

Đặt $P(x)=ax^2+bx+c$ thì ta có $P(\sqrt{2})=2a+\sqrt{2}b+c=3$ nên $2a+c-3=-\sqrt{2}b$ Mà $P(x)$ có hệ số nguyên nên $a,b,c$ là số nguyên

Từ đó kéo theo $b=0$ và $2a+c=3$ Nên $P(3)=9a+c=7a+3$ Mà số chính phương chia $7$ dư $0,1,2,4$ Nên đpcm

Đề có cho $P(x)$ là đa thức bậc mấy đâu nhỉ

[Duc3290]

Dễ thấy $deg P(x) \geq 2$. Giả sử $P(x)-3$ chia $x^2-2$ được thương là $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$

Ta viết lại $P(x)-3=(x^2-2).Q(x)+ax+b$ với  $Q(x)$ là đa thức hệ số nguyên

Thay $x = \sqrt{2}$ ta được $a\sqrt{2}+b=0 \Rightarrow a=b=0 \Rightarrow P(x)-3=(x^2-2)Q(x)$

Thay $x=3 \Rightarrow P(3) = 7Q(3)+3$, do đó $P(3)$ chia $7$ dư $3$, không là số chính phương

[dinhvu]

Dễ thấy $deg P(x) \geq 2$. Giả sử $P(x)-3$ chia $x^2-2$ được thương là $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$

Ta viết lại $P(x)-3=(x^2-2).Q(x)+ax+b$ với  $Q(x)$ là đa thức hệ số nguyên

Thay $x = \sqrt{2}$ ta được $a\sqrt{2}+b=0 \Rightarrow a=b=0 \Rightarrow P(x)-3=(x^2-2)Q(x)$

Thay $x=3 \Rightarrow P(3) = 7Q(3)+3$, do đó $P(3)$ chia $7$ dư $3$, không là số chính phương

à ừ mình nhầm