Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhuybao06]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $(I)$ là tâm nội tiếp. Gọi $D$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của đường tròn $(O),$ $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $DI$ với $BC$ và đường tròn $(O).$ 

a) Gọi $K$ là giao điểm của đường tròn $(F;FI)$ và $DI$. Chứng minh rằng $B,$ $I,$ $C,$ $K$ đồng viên và $E$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn $(F;FI)$ và $(O)$.

b) (Iran TST 2012) Đường thẳng qua $E$ song song với $AI$ cắt $AF$ tại $P.$ Chứng minh rằng $PE$ là phân giác của góc $BPC.$

c) Gọi $BI,$ $CI$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M,$ $L,$ $MF$ và $LF$ cắt $CA$ và $AB$ lần lượt tại $N$ và $Q.$ Chứng minh rằng $NQ$ là tiếp tuyến của $(BIC).$    

File gửi kèm

•  geogebra-export (7).pdf   467.81K   25 Số lần tải

[redlovesmaths]

Câu c hiển nhiên đúng theo bổ đề Lyness và $F$ là tiếp điểm của đường tròn mixtillinear $A$-nội,
a) (Sử dụng các điểm và hình như câu c). Có $BFIQ$ và $CNIF$ nội tiếp và $CN$ là tiếp tuyến của $(FQN)$

$\Rightarrow \angle FIC= \angle FNC= \angle FQN= \angle FQI = \angle FBI$

Mà $\angle BFI= \angle CFI \Rightarrow FI^2=FB.FC=FE.FD$ (vì $\Delta FBE\sim \Delta FDC$)
$\Rightarrow FK^2=FI^2=FE.FD \Rightarrow$ Hệ thức Newton đảo $\Rightarrow EI.EK=EF.ED=EB.EC \Rightarrow$ đpcm cả hai ý.
b) Vì $EP\parallel AI$ nên áp dụng định lí Talet và tỉ số ở a 

$\Rightarrow \frac{FP}{FA}=\frac{FE}{FI}=\frac{FI}{FD} \Rightarrow IP\parallel AD \Rightarrow IP \perp IA$.

Gọi $IP$ cắt $BC$ tại $G$.

Dễ có: Nếu gọi $H$ là giao của $AI$ và $(O)$ thì $H$ là tâm của $(BIC)$ nên dẫn tới $GI$ là tiếp tuyến $\Rightarrow \frac{GB}{GC}=\frac{IB^2}{IC^2}$.
Xét $(BIC)$ có $N$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B, C$ thì $NI$ là đường đối trung.
$\Rightarrow \frac{EB}{EC}=\frac{IB^2}{IC^2}=\frac{GB}{GC}$, mà $\angle GPE=90^o \Rightarrow PE$ là phân giác góc $BPC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-05-2024 - 18:53
LaTeX

[redlovesmaths]

Mình ko biết gõ latex :>>>

[dinhvu]

Câu c hiển nhiên đúng theo bổ đề Lyness và F là tiếp điểm của đường tròn mixtillinear A-nội,

a) (Sử dụng các điểm và hình như câu c). Có $BFIQ$ và $CNIF$ nội tiếp và $CN$ là tiếp tuyến của $(FQN)$ $\Rightarrow $ $\widehat{FIC}=\widehat{FNC}=\widehat{FQN}=\widehat{FQI}=\widehat{FBI}$, mà $\widehat{BFI}=\widehat{CFI}$ $\Rightarrow $ $FI^2=FB.FC=FE.FD$ (vì $\Delta FBE~ \Delta FDC$)

==> $FK^2=FI^2=FE.FD$ ==> Hệ thức Newton đảo ==> $EI.EK=EF.ED=EB.EC$ --> dpcm cả hai ý

b) Vì $EP//AI$ nen áp dụng định lí Talet và tỉ số ở a

 

$\Rightarrow FP/FA=FE/FI=FI/FD \Rightarrow IP//AD\Rightarrow $ $IP$ vuông góc với $IA$.

 

Gọi $IP$ cắt $BC$ tại $G$.

 

Dễ có: Nếu gọi $H$ là giao của $AI$ và $(O)$ thì $H$ là tâm của $(BIC)$ nên dẫn tới $GI$ là tiếp tuyến ==> $GB/GC=IB^2/IC^2$.

Xét $(BIC)$ có $N$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B, C $thì $NI$ là đường đối trung.

==> $EB/EC=IB^2/IC^2=GB/GC$, mà $\widehat{GPE}=90$ ==> $PE$ là phân giác $\widehat{BPC}$.
Sửa cho bạn trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 04-05-2024 - 01:25