Chủ đề này có 3 trả lời

[hoaa]

Hàm Gamma T(x) và hàm bêta B(p,q) đều xác định trên tập xác định của nó thì chúng có hội tụ đều trên tập đó luôn không??

[Hoang Long Le]

Mình cho rằng trong câu hỏi của bạn ta chỉ xét các hàm thực.

Hàm Gamma có tập xác định là $(0,\infty)$ và hàm Beta có tập xác định là $(0,\infty)\times (0,\infty)$ và chúng đều không hội tụ đều trên tập xác định.

Cụ thể thì hàm Gamma hội tụ đều trên mọi tập con compact của $(0,\infty)$ và sẽ không hội tụ đều trong lân cận của $0$ và $\infty$, hàm Beta hội tụ đều trên mọi nửa khoảng $[p_0,\infty)\times [q_0,\infty)$, $p_0,q_0>0$ và không hội tụ đều trong một lân cận của $(p_0,q_0)$ với $p_0$ hoặc $q_0$ bằng 0.

Ví dụ để chứng minh hàm Gamma không hội tụ đều trong lân cận của $0$, ta lấy dãy $x_n=\dfrac{1}{n}\to 0$ và đi tìm một dãy $a_n\to 0^+$ sao cho \[\int _0^{a_n}e^{-t}t^{x_n-1}dt=\int _0^{a_n}e^{-t}t^{\frac{1}{n}-1}dt\not \to 0.\]

Do $\frac{1}{n}-1<0$ nên 

\[\int _0^{a_n}e^{-t}t^{\frac{1}{n}-1}dt\geq a_n^{\frac{1}{n}-1}\int_0^{a_n}e^{-t}dt=a_n^{\frac{1}{n}-1}(1-e^{-a_n}).\]

Đến đây chỉ việc chọn $a_n$ sao cho $a_n^{\frac{1}{n}-1}(1-e^{-a_n})$ hội tụ đến một giới hạn khác 0, chẳng hạn ta muốn $\lim a_n^{\frac{1}{n}-1}(1-e^{-a_n})=1$. Khi đó $1-e^{-a_n}\sim a_n^{1-\frac{1}{n}}.$ Việc giải được $a_n$ có vẻ cũng không dễ (mình chưa thử), nhưng nếu để ý thì có thể thấy vai trò của $x_n=\frac{1}{n}$ và $a_n$ là tương tự nhau, do đó nếu thay vì cố định $x_n=\frac{1}{n}$ ở đầu, ta lấy $a_n=\frac{1}{n}$ thì ta sẽ chuyển về tìm $x_n\to 0^{+}$ sao cho $1-e^{-\frac{1}{n}}\sim \frac{1}{n^{1-x_n}}$. Đến đây lấy luôn $x_n=1+\frac{\ln(1-e^{-1/n})}{\ln n}$ và kiểm tra $\lim x_n=0$ là được.

Tương tự ở lân cận của vô cùng, ta có

\[\int_{A_n}^{\infty}e^{-t}t^{x_n-1}dt\geq A_n^{x_n-1}\int_{A_n}^{\infty}e^{-t}dt=A_n^{x_n-1}e^{-A_n}.\]

Cho $A_n^{x_n-1}e^{-A_n}=1$ ta được $x_n=1+\frac{A_n}{\ln A_n}$, chọn $A_n=n$ là xong.

Đối với hàm Beta ta làm tương tự. Nếu xét lân cận của điểm $(0,q)$ thì đánh giá tích phân $\int_{0}^{a_n}t^{p_n-1}(1-t)^{q-1}dt$ với $a_n,p_n\to 0$, còn nếu xét lân cận của điểm $(p,0)$ thì đánh giá tích phân $\int_{b_n}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q_n-1}dt$ với $b_n\to 1$, $q_n\to 0$, hoặc dùng luôn $B(p,q)=B(q,p)$.

 

[xixi]

Hàm Gamma T(x) và hàm bêta B(p,q) đều xác định trên tập xác định của nó thì chúng có hội tụ đều trên tập đó luôn không??

Muốn nói hội tụ thì phải có (ít nhất) là 1 dãy. Đây có 1 hàm thì hội tụ kiểu nào đây bạn.

[Hoang Long Le]

Muốn nói hội tụ thì phải có (ít nhất) là 1 dãy. Đây có 1 hàm thì hội tụ kiểu nào đây bạn.

Hàm Gamma $\Gamma(x)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ có tập xác định $\mathcal{D}=(0,\infty)$.

Ta có thể xem hàm $\Gamma$ là tích phân này là tích phân phụ thuộc vào tham số $x$, và đặt câu hỏi về sự hội tụ đều của tích phân phụ thuộc tham số.