Chủ đề này có 4 trả lời

[QUANVU]

Trong vành đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\mathbb{Q}[X,Y] xét ideal chính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re=(X^2-Y^3).Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re là ideal nguyên tố nhưng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A/\Re không nguyên đóng.

nguyên đóng=integrally closed

[nemo]

Trong vành đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=\mathbb{Q}[X,Y] xét ideal chính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re=(X^2-Y^3).Chứng minh rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re là ideal nguyên tố nhưng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A/\Re không nguyên đóng.

nguyên đóng=integrally closed

Đa thức http://dientuvietnam...tex.cgi?X^2-Y^3 bất khả qui trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[X,Y] nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Re là ideal nguyên tố, suy ra Bhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=A/\Re là miền nguyên và khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B là đóng nguyên sẽ tương đương với http://dientuvietnam...metex.cgi?B_{M} là đóng nguyên với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M là ideal tối đại bất kỳ của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B. Vậy cần chỉ ra sự tồn tại một ideal tối đại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B sao cho địa phương hóa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B_{M} không đóng nguyên

[redline]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\quad Một cách chứng minh khác. Xét ánh đồng cấu vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Ker(\phi)=(X^2-Y^3) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?im(\phi)=\mathbb{Q}[t^2,t^3]. Thực vậy, đẳng thức thứ 2 là hiển nhiên. Để chứng minh đẳng thức thứ nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f\in\mathbb{Q}[X,Y] sao cho http://dientuvietnam...x.cgi?f(t^3,t^2)=0, thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g,h\in\mathbb{Q}[X,Y] và bậc của X trong h cùng lắm là 1. Từ http://dientuvietnam...x.cgi?f(t^3,t^2)=0 suy ra http://dientuvietnam...x.cgi?h(t^3,t^2)=0. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?t trong http://dientuvietnam...metex.cgi?p(t^2)t^3 đều lẻ còn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q(t^2) đều chẵn, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f=(X^2-Y^3)g\in(X^2-Y^3).
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\quad Như vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(X^2-Y^3) là ideal nguyên tố. Trường thương của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[t^2,t^3] là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}(t). Dễ thấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[t^2,t^3] không đóng nguyên, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[X,Y]/(X^2-Y^3) cũng vậy. QED

[QUANVU]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\quad Một cách chứng minh khác. Xét ánh đồng cấu vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Ker(\phi)=(X^2-Y^3) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?im(\phi)=\mathbb{Q}[t^2,t^3]. Thực vậy, đẳng thức thứ 2 là hiển nhiên. Để chứng minh đẳng thức thứ nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f\in\mathbb{Q}[X,Y] sao cho http://dientuvietnam...x.cgi?f(t^3,t^2)=0, thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g,h\in\mathbb{Q}[X,Y] và bậc của X trong h cùng lắm là 1. Từ http://dientuvietnam...x.cgi?f(t^3,t^2)=0 suy ra http://dientuvietnam...x.cgi?h(t^3,t^2)=0. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?t trong http://dientuvietnam...metex.cgi?p(t^2)t^3 đều lẻ còn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?q(t^2) đều chẵn, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f=(X^2-Y^3)g\in(X^2-Y^3).
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\quad Như vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(X^2-Y^3) là ideal nguyên tố. Trường thương của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[t^2,t^3] là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}(t). Dễ thấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[t^2,t^3] không đóng nguyên, nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{Q}[X,Y]/(X^2-Y^3) cũng vậy. QED

Đây cũng là lời giải mà mình biết

[QUANVU]

là trường với giá trị(valuation) .
Với , , đặt .Thác triển tự nhiên đến .Nếu nhóm được sắp thứ tự từ điển.Chứng minh rằng RS của là RS của .