208 replies to this topic

[DoBaChu-GVTOAN]

Bài toán:
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$, chứng minh rằng:
$\sqrt{1+\tan{x}.\tan{y}}+\sqrt{1+\tan{y}.\tan{z}}+\sqrt{1+\tan{z}.\tan{x}} \le 2\sqrt{3} $

Từ giả thiết dễ dàng CM được $\tan{x}.\tan{y}+\tan{y}.\tan{z}+\tan{z}.\tan{x}=1$
Khi đó theo BDT Buniacopski có
$\sqrt{1+\tan{x}.\tan{y}}+\sqrt{1+\tan{y}.\tan{z}}+\sqrt{1+\tan{z}.\tan{x}} \\
\le \sqrt{1^2+1^2+1^2}.\sqrt{1+\tan{x}.\tan{y}+1+\tan{y}.\tan{z}+ 1+\tan{z}.\tan{x}} = 2\sqrt{3}$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:43.

[DoBaChu-GVTOAN]

Bài 28: Cho 2 số thực x , y không âm có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng

$\dfrac{\sqrt{2^{2008}+1}}{2^{1003}} \le \sqrt{x^{2008}+1}+ \sqrt{y^{2008}+1} \le \sqrt{2}+1$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:43.

[TrungBody]

[quote name='NPKhánh' date='Nov 9 2006, 11:10 PM' post='128595']
Để thay đổi một chút không khí , tôi thấy bài toán này khá hay nhưng phù hợp kỳ thi TSDH . Xong tôi mạo muội post cái ý tưởng của mình trước .

Cho $\left\{\begin{matrix}0<x,y,z<1\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right. $ . CMR $\dfrac{x}{1 -x^2} + \dfrac{y}{1 - y^2}+\dfrac{z}{1-z^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đ�ồng Nai



Cách 2: đặt $x = \tan{ \alpha} , y = \tan {\beta} , z = \tan {\gamma }$
$0<x,y,z<1$ , đặt $x=\sin{ \alpha} , y=\sin{ \alpha} ,z =\sin {\alpha}$
Chuyển về BDT dạng cos.
Cách này đc chứ

Edited by dark templar, 12-06-2011 - 10:30.

[Ho pham thieu]

Làm ơn chuyển về 1 file (PDF hoặc Word) chứa các bt Toán BDT Đại Học.
Thanks trước

[Messi_ndt]

Làm bài này luôn.Cho x,y,z là các số dương thõa $x + y + z + t \leq 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$A = \sqrt {x^5 + \dfrac{1}{{x^5 }}} + \sqrt {y^5 + \dfrac{1}{{y^5 }}} + \sqrt {z^5 + \dfrac{1}{{z^5 }}} + \sqrt {t^5 + \dfrac{1}{{t^5 }}} $
(phỏng theo đề thi đại học năm 2003)

Xài minkowski is ok,

Edited by dark templar, 12-06-2011 - 10:31.

[vghy94]

Bài 1: ĐH tổng hợp Tp.HCM năm 1990
Cho $a,b,c,d \ge 1$ Chứng minh rằng :$ \dfrac {1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1+ b^2} \ge \dfrac{2}{1 + ab}$

$\dfrac {1}{1 + a^4} + \dfrac{1}{1+ b^4}+ \dfrac{1}{1+ c^4}+ \dfrac{1}{1+ d^4} \ge \dfrac{4}{1 + abcd} $

Bài 2: ĐH Bách Khoa Hà Nội
Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng :$ \dfrac {1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2+ca}+ \dfrac{1}{c^2+ab}\le \dfrac{a + b + c }{2abc}$

1/XÉt hiệu là ra

Edited by dark templar, 12-06-2011 - 10:36.

[johnxadoa]

Bài 29: a,b,c là các số dương thảo mãn $a+b+c= \dfrac{3}{4}$ chứng minh rằng

$\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{b+3c} +\sqrt[3]{c+3a} \leq 3$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:44.

[dehin]

Ta có
$\sqrt[3]{{a + 3b}} = \sqrt[3]{{1.1.(a + 3b)}} \le \dfrac{{1 + 1 + a + 3b}}{3} = \dfrac{{a + 3b + 2}}{3}$
Tương tự $ \sqrt[3]{{b + 3c}} \le \dfrac{{b + 3c + 2}}{3}$
$\sqrt[3]{{c + 3a}} \le \dfrac{{c + 3a + 2}}{3}$
$ \Rightarrow VT \le \dfrac{{a + 3b + 2 + b + 3c + 2 + c + 3a + 2}}{3} = \dfrac{{4(a + b + c) + 6}}{3} = 3$

[dehin]

use minkowski is ok,

Thi đại học là chỉ đc dùng 2 BDT cơ bản thôi: Cô-si và Bunhi thôi,
BDT muốn dùng phải chứng minh.

[johnxadoa]

Bài 30: giả sử $\dfrac{1}{3} \leq a,b,c \leq 3$ cmr

$\dfrac{a}{a+b} +\dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} \geq \dfrac{7}{5}$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:44.

[zxcvb]

Bài 31: Cho a,b,c;d>0 thoa man $abcd=\dfrac{1}{81}$ Tim GTNN cua:
$P=\sum{\dfrac{1}{1+a}}$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:45.

[Want?]

mình mãi chả pít cách đánh lệnh cả

Attached Files

•  e.txt   2.72KB   103 downloads

Edited by Want?, 08-04-2011 - 17:58.

[Tranhang]

$x^2+xy+y^2$ thành tổng 2 bình phương
Tương tự đối với$z,x$ cộng các vế lại$------->Xong$
Còn dùng BCS thì CM $-------->OK$

phần bddt m rất yếu. mọi người chỉ cho m cách học với. m nên bắt đầu từ đâu

[CD13]

Ta có hàm số y=sinx là hàm lõm trên $[0, \pi] \Rightarrow sinA+sinB+sinC \leq \dfrac{3 \sqrt{3} }{2}$ (BĐT Jensen).Từ đây áp dụng AM-GM ta có điều phải c/m

Jensen không có trong PT thôi thì:
$sinA+sinB+sinC \leq \dfrac{3 \sqrt{3} }{2}$
và $\dfrac{1}{sinA}+\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC} \ge \dfrac{9}{sinA+sinB+sinC}$

Edited by ongtroi, 21-04-2011 - 12:53.

[Đại Thần]

Cho x,y,z là 3 số dương và $ \large x + y + z \leq 1$. Chứng minh rằng : $\large \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 + \dfrac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82} $
Đại Học - Cao đẳng - Khối A - 2003:

Bài này cũng có thể Cô si trực tiếp cho 17 số hoặc dùng các BĐT phụ khác

[Momochan]

Dùng Bunhiacoxky ngắn hơn bạn ah hoặc dùng phương pháp vectơ cũng hay

[dichthuattv]

Bài 32: ĐH Bách Khoa Hà Nội
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :$ \dfrac {1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2+ca}+ \dfrac{1}{c^2+ab}\le \dfrac{a + b + c }{2abc}$

Edited by Ispectorgadget, 19-01-2012 - 19:45.

[map_mknc0905]

[quote name='NPKhánh' date='Nov 9 2006, 11:10 PM' post='128595']
Để thay đổi một chút không khí , tôi thấy bài toán này khá hay nhưng phù hợp kỳ thi TSDH . Xong tôi mạo muội post cái ý tưởng của mình trước .

Cho $\left\{\begin{matrix}0<x,y,z<1\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right. $ . CMR $\dfrac{x}{1 -x^2} + \dfrac{y}{1 - y^2}+\dfrac{z}{1-z^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đ�ồng Nai

Cách 1: $\Large 2x^2(1-x^2)(1-x^2) \le \dfrac{8}{27} \Rightarrow \dfrac{x}{1-x^2} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2$ Tương tự

Cách 2: đặt x = tan , y = tan , z = tan

Cách 3: Dùng BDT Jensen

[ i]Còn cách giải nào hay hơn không?[/i]

đặt $\[
x = \sin \alpha
\],\[
y = \sin \beta
\],\[
z = \sin \delta
\]$
ta có $\[
\dfrac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}^2 \alpha }} + \dfrac{{\sin \beta }}{{c{\rm{os}}^2 \beta }} + \dfrac{{\sin \delta }}{{c{\rm{os}}^2 \delta }} \ge \sin \alpha + \sin \beta + \sin \delta \ge \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}
\]$

Edited by bboy114crew, 19-08-2011 - 12:01.

[CD13]

Topic này khá hay nhưng sao tôi không thấy bạn nào post tiếp các đề thi những năm 2007,..., 2011?
Bạn nào có đề về BĐT những năm này post lên mình xem với!

[Ispectorgadget]

$x^2+xy+y^2$ thành tổng 2 bình phương
Tương tự đối với$z,x$ cộng các vế lại$------->Xong$
Còn dùng BCS thì CM $-------->OK$

Cách khác là biến đổi BDT trong căn thành


\[
\sqrt {\dfrac{3}{4}.(x + y)^2 - \dfrac{1}{4}.(x - y)^2 } \ge \dfrac{{\sqrt 3 (x + y)}}{2}
\]

cmtt rồi cộng lại ta có Đpcm