Chủ đề này có 2 trả lời

[sangngo12]

cho p,q nguyên tố thỏa mãn:p-1chia hết cho q và q^3-1chia hết cho p
cmr:p=q là số chính phương

[khaliachika]

Hi bạn sangngo12,

Mình đọc mà không hiểu đề bài ở chỗ "p = q". Mình đoán ý của bạn là "p + q".
Nhân tiện chưa có ai reply cho bài toán này mình xin post ý kiến của mình các bạn tham khảo.

Đề bài sửa lại
cho p,q nguyên tố thỏa mãn: p-1 chia hết cho q và q^3-1 chia hết cho p
cmr: p + q là số chính phương.
Lời giải:

Ta sẽ CMR q^2 + q + 1 = p từ đó suy ra p + q = (q + 1)^2 là số chính phương.

Vì p-1 chia hết cho q nên p >= q + 1.
Tiếp theo do q^3 - 1 chia hết cho p nên ta có:
(q - 1)(q^2 + q + 1) chia hết cho p
Do q < p và p là số nguyên tố nên ta có q^2 + q + 1 chia hết cho p.
Suy ra q^2 + q + 1 = p.t (trong đó t là số nguyên dương).
Trừ cả 2 vế cho t ta được:
q^2 + q + 1 - t = t(p - 1)
Do q^2 + q và p - 1 đều chia hết cho q nên suy ra 1 - t chia hết cho q.

Nếu t = 1 ta có điều cần chứng minh
Nếu t > 1 ta được t - 1 >= q hay t >= q + 1.

Thay vào đẳng thức được:
q^2 + q + 1 = p.t >= (q + 1)(q + 1) = q^2 + 2.q + 1
Điều này là vô lý vì q > 1.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Có thể cách giải của mình chưa phải là tối ưu nhưng từ đó ta thấy được điều kiện q là số nguyên tố là quá chặt chẽ. Thật ra chỉ cần p nguyên tố là đủ.

Mình nghĩ bài toán này còn có rất nhiều hướng tổng quát. Chỉ cần đào sâu vào những câu hỏi tại sao lại là p - 1 chia hết cho q, tại sao lại là q^3 - 1 chia hết cho p và liệu công thức p + q có thể thay thế bằng công thức khác không hay số chính phương có thể là một điều kiện nào đó không?

Rất mong sẽ nhận được những suy nghĩ và ý kiến của các bạn.

[TranLeHoang]

cho $p,q$ nguyên tố thỏa mãn:$p-1\vdots q$ và $q^{3}-1\vdots p$
cmr : $p+q$ là số chính phương