Đến nội dung

Hình ảnh

pt hay -> hệ pt khó

- - - - -
Bắt đầu bởi fecma21, 04-01-2007 - 16:03

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
fecma21
Đã gửi 04-01-2007 - 16:03

fecma21

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
đây là bài thi tỉnh toán HD ; Giải pt sau ' $\ x = \sqrt{3} + \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}} $ ' :Rightarrow

việc giải pt này cũng khá cơ bản ( có lẽ chỉ cần kt lớp 9 )

và bây giờ là một bài toán đấu tiên ' Giải hệ pt ' được xây dựng từ pt :)

bài toán Giải hệ pt sau

$\ x = \sqrt{3} + \dfrac{y}{\sqrt{z^2-1}} $

$\ y = \sqrt{3} + \dfrac{z}{\sqrt{x^2-1}} $

$\ z = \sqrt{3} + \dfrac{x}{\sqrt{y^2-1}} $

xin mời tất cả các bác ( ai giải hay hơn mình gọi = sư phụ hi hi )

( có thể TQ cho số $\ sqrt{3} $ = k cũng được )

ngoài ra mình cũng muốn trao đổi với các bạn về một bài toán sau

rõ ràng là một bài trongđề thi mà lời giải các sách every đều sai mà mình cũng không thể giải trực tiếp chỉ có thể chỉ

ra số nghiệm và CM thôi (*)

bài toán 2 giải hệ pt

$\ x.(y^2-4y+5) = 6 $

$\ y.(z^2-4.z+5) = 6 $

$\ z.(x^2-4x+5) = 6 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fecma21: 04-01-2007 - 16:30

fecma21

2K ID

T N T

#2
Khách- PiE_*
Đã gửi 06-01-2007 - 14:58

Khách- PiE_*
  • Khách
Bài toán . Giải hệ phương trình :
$\left \{ \begin x= k+\dfrac{y}{sqrt{z^2-1}} \\ y= k+\dfrac{z}{sqrt{x^2-1}} \\ z= k+\dfrac{x}{sqrt{y^2-1}} \right $
Trong đó k là một số thực dương cho trước .

Solution.
Dễ thấy rằng hệ trên có nghiệm khác k. Ta chuyển hệ dưới dạng tương đương :
$\left \{ \begin \sqrt{z^2-1}= \dfrac{y}{x-k} (1) \\ \sqrt{x^2-1}= \dfrac{z}{y-k} (2) \\ \sqrt{y^2-1}= \dfrac{x}{z-k} (3) \right$

Nhận xét :Nếu hệ có nghiệm $ x, y, z $ thì $ x, y, z $ cùng dấu .
Thật vậy :
+ Nếu tồn tại một trong ba số x, y, z nhận giá trị trên $ \mathbb{R}^{+}$ , giả sử là x. Khi đó : (3) :lol: $z>k$ , (2) :icon6: $y>k$ .
Và do đó : $x,y,z >k $ .
+Nếu tồn tại một trong ba số x, y, z nhận giá trị trên $ \mathbb{R}^{-}$ , giả sử là z. Khi đó : (3) :icon9: $x<0$ , (1) :icon14: $y<0$ .
Nhận xét được chướng minh .

Bây giờ ta xét khi x,y,z không âm .
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng $ x = max$ {$x,y,z $ }
Xét các trường hợp sau :(Chú ý theo chứng minh trên thì $x,y,z >k $ )
a. $x \geq y \geq z $ .Khi đó từ các phương trình (2) và (3) ta có :
$ \sqrt{x^2-1}= \dfrac{z}{y-k}\leq \dfrac{x}{z-k} = \sqrt{y^2-1} \Rightarrow x \leq y \Rightarrow x=y$.
Khi đó từ (2) và (3) suy ra $ z(z-k)=x(x-k)\Leftrightarrow (z-x)(z+x-k)=0\Leftrightarrow z= x$
Vậy $x=y=z $ .

b. $x \geq z \geq y $ .
Từ các phương trình (1) và (3) ta có :
$ \sqrt{z^2-1}= \dfrac{y}{x-k}\leq \dfrac{x}{z-k} = \sqrt{y^2-1} \Rightarrow z \leq y \Rightarrow z =y $.
Khi đó từ (1) và (3) suy ra $ x(x-k)=y(y-k)\Leftrightarrow (x-y)(x+y-k)=0 \Leftrightarrow x= y$
Vậy $x=y=z $ .

Trương hợp x,y,z thuộc $ \mathbb{R}^{-}$ ta đặt $x=-x' $ , $y=-y'$ , $z=-z' $ và xét tương tự như trên cũng có $x=y=z $ .

Cuối cùng ta chỉ cần giải phương trình : $ \sqrt{t^2-1}= \dfrac{t}{t-k} $ , và sau đó kết luận nghiệm .

PiE

#3
fecma21
Đã gửi 08-01-2007 - 20:47

fecma21

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
:) bạn đi khá lâu rồi dẫn đến cm x=y=z ; quan trọng của bài là giải cái pt đó mà ?

cái này có thể cm cho nó có nghiệm duy nhất và sau đó mò nghiệm ...nhưng mà nó lẻ lắm .... hì hì

nghiệm $\ x = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2} $

nhưng mà có thể giải trực tiếp mà ..... :)
fecma21

2K ID

T N T

#4
Khách- PiE_*
Đã gửi 09-01-2007 - 18:43

Khách- PiE_*
  • Khách
Giải cái phương trình này mình chẳng thấy có gì khó khăn cả.
Ta hãy để ý rằng với $ x \neq 0 $ luôn có :
$ (\dfrac{1}{x})^2+(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x})^2=1 .$
Bây giờ ta đặt : $ y=\dfrac{1}{x}$ và $ z=\dfrac{ \sqrt{x^2-1}}{x} .$ khi đó để giải phương trình trên ta đi tìm y,z thỏa mãn hệ :
$ \left \begin \{ \dfrac{1}{y}=k+\dfrac{1}{z} \\ y^2+z^2=1 \right \end $ :) $ \left \begin \{ y-z=-k.yz \\ (y-z)^2=1-2y.z \right \end $
Với điều kiện $ |y| \leq 1 $ , $ |z| \leq 1$.
Đặt $ M=y-z $ và $ N=-yz $ khi đó M, N thỏa mãn hệ :
$ \left \begin \{ M=k.N \\ M^2=1+2N \right \end $
Đồng thời ta cũng có : $ N <0 $.
Từ hai phương trình trên ta suy ra :
$ (kN)^2=1+2N $ :) $ k^2.N^2-2N-1 =0 $
phương trình này cho ta nghiệm N<0 là:
$ N=\dfrac{1-\sqrt{1+k^2}}{k^2}$ :D $ M=k.N=\dfrac{1-\sqrt{1+k^2}}{k}$
Theo định lí Viet đảo ta có $ y, -z $ là nghiệm của phương trình :
$ t^2-M.t+N=0$
Dễ thấy do $ N<0 $ nên phương trình trên luôn có nghiệm .
Do đó Phương trình trên có nghiệm $ y, -z $ thỏa mãn điều kiện $ |y| \leq 1 $ , $ |z| \leq 1$ khi và chỉ khi :
$ \left \begin \{ f(-1) \geq 0 \\ f(1) \geq 0 \\ |\dfrac{M}{2}| \leq 1 \right \end $ :) $ \left \begin \{ M+N \geq -1 \\ M-N \leq 1 \\ |M| \leq 2 \right \end $ . :)
Với từng giá trị của $ k $ ta thay vào :) để thử nghiệm .
$ k=\sqrt{3}$ cho ta $ N=-\dfrac{1}{3}$ và $ M= -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
từ đó được
$ y= \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\pm \sqrt{\dfrac{5}{3}}}{2} $
$ y= -\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{3}}$ hoặc $ y= \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}$
từ đây ta suy ra giá trị của x.

PiE
Trở lại Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình


1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán thi Học sinh giỏi và Olympic
  3. → Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình