Chủ đề này có 4 trả lời

[doductai]

Tìm 2 đa thức P(x),Q(x) tm 2 đk
i)deg Q=deg P-1=n-1
ii)$ P^2(x)=(x^2-1)Q^2(x)+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doductai: 08-01-2007 - 15:51

[vnm]

chắc phải xét đa thức hệ số hữu tỉ chứ nhỉ
bài này xét phương trình pell $x^2-2y^2=1$ có họ nghiệm $x_n=\dfrac{1}{2}[(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n]$$y_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}[(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n]$
Giả sử P và G nhận giá trị dương với mọi $x\geq\w$;chọn n để x_n>w ta có $(P(x_n);y_nQ(x_n))$ cũng là 1 cặp nghiệm của pt pell.
Dùng giới hạn ta chứng minh được $(3+\sqrt{2})^{a_n-kn}$ hội tụ với k=degP
vậy với n đủ lớn thì $a_n=k.n+u$
suy ra $P(x_n)=\dfrac{1}{2}[(3+2\sqrt{2})^{kn+u}+(3-2\sqrt{2})^{kn+u}]$
Với mọi x có dạng $(3+2\sqrt{2})^n$ ta sẽ có
$P(\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x}))=\dfrac{1}{2}[x^k.(3+2\sqrt{2})^u+(\dfrac{-1}{x})^k(3-2\sqrt{2})^u]$
vì P(x) có hệ số hữu tỉ nên ta dễ dàng suy ra $(3+2\sqrt{2})^u$ hữu tỉ->$u=0$.Từ đó tìm được P(x)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnm: 10-01-2007 - 12:35

[doductai]

Đề bài cho rõ là không cần hữu tỉ rồi.
Ta CM qua 2 bước:
i)tồn tại duy nhất bộ P,Q tm bài toán.
ii)Mọi bộ P,Q tương ứng với n là $ T_n(x),U_n(x)$ trong đó
$ T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$
$ U_0(x)=0,U_1(x)=1,U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x)$

[kyoshiro_hp]

Dễ c/m: nQ(x)=P'(x)=> chắc là như doductai nói

[antiboy511]

thêm mấy bai` kiễu này nũa : tìm tat cà các P(x) ,Q(x) hệ số nguyên sao cho

P(x)^2 -(x^2 +2)Q(x)^2= 1