Chủ đề này có 1 trả lời

[kyoshiro_hp]

a,b là 2 hằng số thuộc khoảng mở $(0;\dfrac{1}{2})$. Tìm tất cả f(x) liên tục mà:
f(f(x))=af(x)+bx.
với mọi x thực.

[caothudainoi]

Trước hết ta có một số kết quả:
*KQ1: f là toàn ánh
Thật vậy
Ta c/m f không bị chặn :
+g/s |f(x)|<M suy ra |x|=|f(fx))-f(x)|<2M vô lí
Nếu f bị chặn trên, đặt m=sup f(x) với x>0
khi đó tồn tại dãy {x_i} -> vô cùng mà lim f(x_i)=m hay tồn tại x_0 >0 mà f(x_0)=m
khi đó f(f(x_i))=f(x_i) +x_i>m khi x_i đủ lớn =>vo lí
Tương tự ta chứng minh f không bị chặn dưới
Kết hợp với f liên tục suy ra f là toàn ánh.
*KQ2: f là đơn ánh (không khó)
Từ KQ1 và KQ2 suy ra f là song ánh kết hợp với f liên tục suy ra f là đơn điệu
Đặt
f0(x)=x
fn(x)=f(f(...(x))...)(n lần tác động ) với n nguyên dương
fn(x)=f^(-1 )(f^(-1)(...(x))...) (-n lần tác động) với n nguyên âm
gọi c,d là nghiệm dương âm của phuơng trình y^2-ay-b=0
đặt A(x)=f(x)-cx;B(x)=f(x)-dx
Chứng minh quy nạp ta có fn(x)=(B(x)c^n-A(x)d^n)/(c-d) với mọi n nguyên
Chú ý fn(x) cũng là hàm đơn điệu
Khi đó :*Nếu f đơn điệu tăng thì A(x)=const thay vào đẳng thức ban đầu suy ra A(x)=0 suy ra f(x)=cx
*Nếu f đơn điệu giảm suy ra f(x)=dx
Bài toán xong