Chủ đề này có 1 trả lời

[boyhoctoan]

tim f(x),biết f(x) liên tục tại 0 và
f(x+2f(y))=f(x)+f(y)+y

[TamTam]

Mình có khá nhiều lời giải của bài toán này.
Nhưng sau đây là ý kiến của riêng bản thân mình (các cách kia đã có trên mạng)
giả sử f là hàm sô thỏa đề bài.
đặt a = f(0).
Lấy y = 0 có : $f(x+2a) = f(x)+a$
Lấy x = 0 có : $f(2f(y)) = a+y+f(y)$ hay $f(2f(x)) = a+x+f(x) (1)$ với mọi x.
Thay x bởi x+2a trong (1) ta có
$VT = f(2f(x+2a)) = f(2f(x)+2a) = f(2f(x))+a = 2a+x+f(x)$
$VP = a+x+2a+f(x+2a) = a+x+2a+f(x)+a = 4a+x+f(x)$
so sánh chúng ta rút ra f(0) = a = 0.
Bầy giờ, trong phương trình giả thiết, thay y bởi 2f(y), ta có
$VT = f(x+2f(2f(y))) = f(x+2y+2f(y)) = f(x+2y)+y+f(y)$
$VP = f(x)+2f(y)+f(2f(y)) = f(x)+3f(y)+y$
So sánh chúng ta rút ra f(x+2y) = f(x)+2f(y). Ở dây, lấy x = 0 và chú ý f(0) = 0 có f(2y) = 2f(y). Do vậy f(x+2y) = f(x)+f(2y) hay f(x)+f(y) = f(x+y).
Do f liên tục tại x = 0 nên từ phương trình này dễ thấy f liên tuc trên toàn trục số. Vậy f(x) = cx với c là hằng số. Thay vào phương trình ban đâu rút ra f(x) = x và f(x) = -0,5x là hai hàm số thỏa mãn bài toán.

So với các cách kia thì cách mình không được hay cho lắm nên các bác thông cảm nhé.
Nếu có thời gian, mình sẽ post cách giải lấy từ trên mạng để các bác tham khảo.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TamTam: 28-01-2007 - 18:03