Chủ đề này có 4 trả lời

[phamconghung]

các bạn nào biết về những nhà toán học thế kỉ 18 thì post lên đi.chúng ta cùng làm tư liệu chung.

[thuantd]

Muốn hỏi về mấy ông sống trong thế kỷ 18 ư? Có lẽ cho tầm này tên là vừa rồi

Mathematicians born from 1600 to 1649

--------------------------------------------------------------------------------

(1600-1684) Carcavi
(1600-1667) Vlacq
(1600-1644) Delamain
(1601-1665) Fermat
(1601-1652) de Beaune
(1602-1679) Billy
(1602-1675) Roberval
(1605-1694) Boulliau
(1605-1675) de Bessy
(1606-1682) Caramuel
(1607-1688) Fabri
(1608-1647) Torricelli
(1610-1660) Le Tenneur
(1610-1690) Stampioen
(1611-1685) Pell
(1612-1694) Arnauld
(1612-1660) Tacquet
(1614-1687) More, Henry
(1614-1672) Wilkins
(1615-1660) Schooten
(1616-1703) Wallis
(1616-1700) Kamalakara
(1618-1641) Horrocks (1618-1694) Mouton
(1618-1660) Mylon
(1619-1682) Ricci
(1620-1682) Picard, Jean
(1620-1684) Brouncker
(1620-1687) Mercator, N
(1621-1678) Dechales
(1622-1676) Rahn
(1622-1703) Viviani
(1622-1685) Sluze
(1623-1662) Pascal, Blaise
(1623-1697) Angeli
(1625-1683) Collins
(1624-1683) Guarini
(1625-1712) Cassini
(1625-1698) Bartholin
(1625-1672) de Witt
(1626-1686) Mengoli
(1627-1691) Boyle
(1627-1679) Moore, Jonas
(1628-1704) Hudde
(1629-1695) Huygens
(1630-1677) Barrow (1630-1696) Richer
(1631-1675) Cocker
(1632-1723) Wren
(1633-1660) Heuraet
(1635-1703) Hooke
(1637-1670) Neile
(1638-1715) Malebranche
(1638-1675) Gregory, James
(1640-1718) La Hire
(1640-1697) Mohr
(1640-1715) Lamy
(1640-1717) Ozanam
(1642-1708) Seki
(1643-1727) Newton
(1645-1700) Siguenza
(1646-1716) Leibniz
(1646-1719) Flamsteed
(1647-1712) Papin
(1647-1734) Ceva, Giovanni
(1648-1710) Aldrich
(1648-1737) Ceva, Tommaso
(1648-1715) Raphson

Mathematicians born from 1650 to 1699
(1651-1708) Tschirnhaus
(1652-1706) Le Fèvre
(1652-1719) Rolle
(1654-1705) Bernoulli, Jacob
(1654-1722) Varignon
(1656-1728) Reyneau
(1656-1742) Halley
(1657-1757) Fontenelle
(1659-1708) Gregory, David
(1659-1737) Saurin
(1660-1734) Lagny
(1661-1704) de L'Hôpital
(1663-1731) Craig
(1667-1754) de Moivre
(1667-1748) Bernoulli, Johann
(1667-1752) Whiston (1667-1735) Arbuthnot
(1667-1733) Saccheri
(1669-1739) Magnitsky
(1671-1742) Grandi
(1671-1721) Keill
(1671-1750) Doppelmayr
(1675-1729) Clarke
(1675-1749) Jones
(1676-1754) Riccati
(1677-1756) Cassini, Jacques
(1677-1742) de Molières
(1678-1733) Hermann
(1678-1719) Montmort
(1680-1751) Machin
(1682-1739) Saunderson
(1682-1744) Hadley (1682-1716) Cotes
(1682-1766) Fagnano, Giulio
(1683-1761) Poleni
(1685-1753) Berkeley
(1685-1731) Taylor, Brook
(1687-1768) Simson
(1687-1759) Bernoulli, N(I)
(1688-1742) 'sGravesande
(1688-1757) Castel
(1690-1764) Goldbach
(1692-1770) Stirling
(1695-1726) Bernoulli, N(II)
(1698-1758) Bouguer
(1698-1759) Maupertuis
(1698-1746) Maclaurin
(1699-1768) Camus



Mathematicians born from 1700 to 1749

(1700-1782) Bernoulli, Daniel
(1700-1762) Braikenridge
(1700-1768) Stone, Edmund
(1701-1774) La Condamine
(1702-1761) Bayes
(1703-1768) Deparcieux
(1704-1791) Castillon
(1704-1752) Cramer
(1704-1771) Fontaine
(1704-1777) Segner
(1706-1790) Franklin, Benjamin
(1706-1749) Châtelet
(1707-1775) Riccati, V
(1707-1783) Euler
(1707-1788) Buffon
(1707-1751) Robins
(1710-1790) Bernoulli, Johann(II)
(1710-1761) Simpson
(1710-1790) Fuller
(1710-1748) Paman
(1711-1787) Boscovich
(1712-1757) König, Samuel
(1713-1765) Clairaut
(1714-1784) Cassini de Thury
(1714-1786) Wilson, A
(1715-1797) Fagnano, Gio (1717-1785) Stewart
(1717-1783) d'Alembert
(1718-1799) Agnesi
(1718-1786) Hatvani
(1719-1790) Landen
(1719-1800) Kaestner
(1723-1762) Mayer, Tobias
(1723-1791) Price
(1724-1802) Aepinus
(1725-1799) Montucla
(1726-1797) Hutton, James
(1728-1784) Frisi
(1728-1777) Lambert
(1729-1811) Bougainville
(1730-1783) Bézout
(1730-1814) Bossut
(1731-1806) Banneker
(1731-1824) Maseres
(1731-1807) Malfatti
(1732-1796) Rittenhouse
(1732-1807) Lalande
(1732-1811) Maskelyne
(1732-1787) Karsten
(1732-1798) Ajima
(1733-1799) Borda
(1734-1794) Dionis (1734-1798) Waring
(1735-1796) Vandermonde
(1735-1800) Ramsden
(1736-1813) Lagrange
(1736-1806) Coulomb
(1736-1798) Bring
(1736-1807) Tetens
(1737-1823) Hutton
(1739-1812) Klügel
(1740-1784) Lexell
(1741-1808) Hindenburg
(1741-1793) Wilson, John
(1743-1794) Condorcet
(1744-1804) Méchain
(1744-1807) Bernoulli, Joh(III)
(1744-1787) Cunha
(1745-1818) Wessel
(1745-1807) Atwood
(1746-1818) Monge
(1746-1831) Trail
(1747-1817) Aida
(1748-1819) Playfair
(1748-1822) Tinseau
(1748-1845) Cassini,Dominique
(1749-1827) Laplace
(1749-1822) Delambre

Mathematicians born from 1750 to 1779

(1780-1855) Crelle
(1780-1872) Somerville
(1781-1840) Poisson
(1781-1848) Bolzano
(1781-1864) Plana
(1783-1863) Kulik
(1783-1875) Mathieu, C
(1783-1864) Brianchon
(1784-1846) Bessel
(1784-1873) Dupin
(1785-1836) Navier
(1786-1856) Binet
(1786-1853) Arago
(1786-1849) Thomson, James
(1786-1837) Horner
(1786-1847) Walsh
(1788-1856) Hamilton W
(1788-1827) Fresnel
(1788-1867) Poncelet
(1789-1854) Ohm (1789-1857) Cauchy
(1790-1868) Möbius
(1790-1869) Strong
(1791-1858) Peacock
(1791-1841) Savart
(1791-1867) Faraday
(1791-1820) Petit
(1791-1871) Babbage
(1792-1871) Herschel
(1792-1843) Coriolis
(1792-1856) Lobachevsky
(1793-1853) Olivier
(1793-1866) Hopkins
(1793-1880) Chasles
(1793-1841) Green
(1794-1847) Dandelin
(1794-1851) Rodrigues
(1794-1874) Taurinus
(1795-1850) Holmboe
(1795-1849) Richard, Louis (1795-1870) Lamé
(1795-1838) Léger
(1795-1880) Morin
(1795-1881) Carlyle
(1796-1874) Quetelet
(1796-1863) Steiner
(1796-1832) Carnot, Sadi
(1796-1866) Brashman
(1796-1878) Bienaymé
(1797-1872) Duhamel
(1797-1886) Saint-Venant
(1797-1841) Savary
(1797-1870) Finck
(1798-1867) von Staudt
(1798-1852) Gudermann
(1798-1840) Bobillier
(1798-1895) Neumann, Franz
(1798-1885) Scherk
(1799-1864) Clapeyron
(1799-1873) Gräffe

Mathematicians born from 1780 to 1799

(1780-1855) Crelle
(1780-1872) Somerville
(1781-1840) Poisson
(1781-1848) Bolzano
(1781-1864) Plana
(1783-1863) Kulik
(1783-1875) Mathieu, C
(1783-1864) Brianchon
(1784-1846) Bessel
(1784-1873) Dupin
(1785-1836) Navier
(1786-1856) Binet
(1786-1853) Arago
(1786-1849) Thomson, James
(1786-1837) Horner
(1786-1847) Walsh
(1788-1856) Hamilton W
(1788-1827) Fresnel
(1788-1867) Poncelet
(1789-1854) Ohm (1789-1857) Cauchy
(1790-1868) Möbius
(1790-1869) Strong
(1791-1858) Peacock
(1791-1841) Savart
(1791-1867) Faraday
(1791-1820) Petit
(1791-1871) Babbage
(1792-1871) Herschel
(1792-1843) Coriolis
(1792-1856) Lobachevsky
(1793-1853) Olivier
(1793-1866) Hopkins
(1793-1880) Chasles
(1793-1841) Green
(1794-1847) Dandelin
(1794-1851) Rodrigues
(1794-1874) Taurinus
(1795-1850) Holmboe
(1795-1849) Richard, Louis (1795-1870) Lamé
(1795-1838) Léger
(1795-1880) Morin
(1795-1881) Carlyle
(1796-1874) Quetelet
(1796-1863) Steiner
(1796-1832) Carnot, Sadi
(1796-1866) Brashman
(1796-1878) Bienaymé
(1797-1872) Duhamel
(1797-1886) Saint-Venant
(1797-1841) Savary
(1797-1870) Finck
(1798-1867) von Staudt
(1798-1852) Gudermann
(1798-1840) Bobillier
(1798-1895) Neumann, Franz
(1798-1885) Scherk
(1799-1864) Clapeyron
(1799-1873) Gräffe

Tìm hiểu thêm về sự nghiệp, từ trang: http://www-gap.dcs.s.../1780_1799.html

[bachocnhi]

Calvados viết:
CÁC CHUỖI VÀ PHƯƠNG PHÁP MANG TÍNH THUẬT TOÁN

Đến thế kỷ XVIII, phương pháp vét cạn, kết hợp với lý thuyết các tỷ lệ thức, trở nên rất hấp dẫn (tuy còn nhiều khúc mắc) nên rất được sử dụng trong phép đo, nơi mà vẽ đẹp của phương pháp này đi kèm với một sự thực hiện hầu như đặc trưng cho mỗi trường hợp, nhất là thuật toán phân đôi. Các phương pháp xấp xỉ các tỷ lệ khác cũng xuất hiện, chúng được đón nhận một cách thiết thực mà không quá đòi hỏi tính chặt chẽ. Một phép tính mới như vậy được hệ thống hóa vào thế kỷ XVII, trước cả việc xây dựng phép tính vi lượng (tk. PHÉP TÍNH VI LƯỢNG - Lịch sử, PHÉP TÍNH SỐ); đó là phép tính các chuỗi gắn với phương pháp vét cạn.

Khía cạnh tính toán trong những chuỗi đầu tiên cũng chính là bản chất, bởi không hề có một lý thuyết hội tụ, nhưng chỉ có một tiến trình thuật toán thực hiện phép tính và mỗi hạng tử của chuỗi được suy từ hạng tử liền trước nó bởi các phép toán lặp. Và các chuỗi cấp số nhân được xem xét từ quan điểm các tỷ lệ thức: tỷ lệ của mỗi hạng tử so với hạng tử liền trước nó chính là tỷ lệ của hạng tử đầu tiên so với hạng tử thứ hai, và kí hiệu a : aq : aq^2 : aq^3… được sử dụng cho đến thế kỷ XIX. Tổng của n hạng tử đầu tiên được cho bởi Euclide, và năm 1593 Viète cho kết quả tổng vô hạn với q<1:

$\dfrac{{a^2 }}{{a - aq}}$,

Trong tác phẩm đồ sộ của mình, Tác phẩm hình học (1647), Grégoire de Saint-Vicent chứng minh rằng phép tính này đã giải quyết nghịch lý "Archile đuổi rùa" của Zénon. S.Stevin, với tác phẩm Dism xuất bản năm 1585, đã phổ biến dạng viết thập phân của số nguyên và số hữu tỷ (dạng viết vô hạn nhưng có chu kỳ); với một tỷ lệ nào đó, khai triển thập phân của nó bằng tổng tổng của một chuỗi:

$\sum\limits_{n = - n_0 }^\infty {x_n 10^{ - n} = x_{ - n_0 } x_{ - (n_0 - 1)} ...x_{ - 1} x_0 ,x_1 x_2 ...x_n ...,}$

các hệ số là các chữ số, nghĩa là các số nguyên giữa 0 và 9. Ta ghi nhận hai dạng viết biểu diễn cùng một số thập phân: hoặc chỉ là các chữ số 9 kể từ một hạng nào đó, hoặc chỉ là chữ số 0 kể từ hạng bằng hạng trước thêm một đơn vị, điều này suy ra đẳng thức:

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{9}{{10^n }} = 1}$

Việc chứng minh mệnh đề đảo rằng tất cả các dạng viết thập phân vô hạn ứng với một số, phải đợi đến khi có tiêu chuẩn Cauchy, và thật ra là sự xây dựng số thực (tk. phần sau).

Đầu thế kỷ XVII, xuất hiện các phép tính khác liên quan đến sự vô hạn. Viète sử dụng lại phương pháp vét cạn, đồng thời tinh luyện tiến trình thuật toán và ông nhận được một tỷ lệ dưới dạng tích vô hạn:

$\dfrac{2}{\pi } = \sqrt {\dfrac{1}{2}} \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2}} } \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2}} } } ... $

Rất nhiều tác giả tính giá trị xấp xỉ của số $\pi$ rất chính xác; và năm 1596 Ludolf van Ceulen đưa ra một giá trị với 35 số thập phân. Chính hướng nghiên cứu của Viète đã thúc đẩy dần công việc trên. Năm 1655, Wallis đưa ra tích vô hạn:

$\sqrt {\dfrac{2}{\pi }} = \dfrac{{3.5.7...(2n + 1)...}}{{2.4.6...2n...}}$,

sau đó Brounker chuyển dạng và nhận được:

$\dfrac{4}{\pi } = \dfrac{{1 + 1}}{{2 + {\rm{ }}\dfrac{{3^2 }}{{{\rm{2}} + \dfrac{{5^2 }}{{2 + \dfrac{{7^2 }}{{2 + ...}}}}}}}}$

Năm 1572, Bombelli đưa ra một biểu thức tương tự cho $\sqrt 2 $ , nhà đại số người Ý này xuất phát từ $\sqrt 2 = 1 + \dfrac{1}{\alpha }$ sao cho $\alpha = 2 + \dfrac{1}{\alpha }$ . Từ đó ông ghi dưới dạng lặp:

$\sqrt 2 = 1 + \dfrac{1}{{2 + \dfrac{1}{\alpha }}} = 1 + \dfrac{1}{{2 + \dfrac{1}{{2 + ...}}}}$

Euler và Lagrange sẽ lý thuyết hoá các phân số liên tục (tk. xấp xỉ DIOPHANTIENNE, chương 1).

Theo thời gian, các phân số liên tục được khai triển thành chuỗi, rất nhiều kỷ thuật được soạn thảo để biểu diễn số thực và các nhà toán học đã quen thuộc với việc số hóa trường các tỷ lệ.

(còn tiếp)
Jean DHOMBRES

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocnhi: 10-02-2007 - 23:24

[bachocnhi]

Calvados viết:
Nhận xét của chúng tôi : người Hy Lạp đã biểu diễn một vài số vô tỷ nhờ khái niệm tỷ lệ của Eudoxe, chẳng hạn số $\pi$ là tỷ lệ giữa diện tích (S) và bình phương bán kính ® của một hình tròn. Và nhờ khái niệm tỷ lệ thức người ta có thể nói rằng tỷ lệ giữa S và $R^2$ bằng với tỷ lệ giữa chu vi và đường kính của đường tròn đó. Để chứng minh điều này người Hy Lạp cổ đại đã sử dụng một phương pháp đặc biệt, «phương pháp vét cạn». Khía cạnh lý thuyết ẩn trong «phương pháp vét cạn» chính là tiền thân của khái niệm giới hạn. Tuy nhiên, phải chú ý rằng, trong «phương pháp vét cạn», người Hy Lạp cổ đại đã sử dụng suy luận phản chứng để tránh bước chuyển sang giới hạn (như trong khái niệm giới hạn). Vì đối với người Hy lạp cổ đại, « vô hạn » là điều cấm kị.

CÁC PHÉP TÍNH SỐ

Sức mạnh của lý thuyết về các tỷ lệ thức không chỉ dừng ở việc thỏa mãn một niềm mong ước có một định nghĩa hợp lý làm đơn giản các quy tắc tính toán khá hỗn loạn, mà còn là động lực của các phép tính gần đúng, như thế là, nó nhập và trong trào lưu logic, được phát triển sôi nổi bởi người Ai cập và người Babylon. Khía cạnh tính toán vận hành nhờ vào thứ tự trên các tỷ lệ, và, bằng cách sử dụng các tỷ lệ đặc biệt, của số so với số, nghĩa là những tỷ lệ mà ta gọi là số hữu tỷ. Vì thế, người ta sẽ dùng hai số hữu tỷ để chặn một tỷ lệ mà họ cần ước lượng. Và tác giả của một chặn nổi tiếng sau chính là Archimède:

$\3 + \dfrac{{10}}{{71}} < \dfrac{S}{{R^2 }} < 3 + \dfrac{1}{7}$;

trong đó $S/R^2$ là tỷ lệ giữa diện tích S của một hình tròn so với bình phương bán kính của nó. Kể từ Euler, người ta ký hiệu số này là $\pi$, và chặn trên bên phải là phân số 22/7. Cách chặn các tỷ lệ như vậy là một trong các phương pháp tinh tế nhất đã được hiệu chỉnh trong nền toán học Hy lạp. Ở thế kỷ thứ XVII, Grégoire de Saint-Vincent gọi tên là «phương pháp vét cạn». Phương pháp vét cạn được áp dụng lần đầu tiên trong quyển sách thứ XII của Euclide. Tuy vậy, khía cạnh số trong tác phẩm Cơ bản của Euclide hoàn toàn bị che khuất, hoặc là do tiền lệ triết học bắt nguồn từ trường phái Platon, hoặc là do mối lo sư phạm, hoặc còn do họ không muốn viết ra những kết quả chưa được hoàn thiện. Tốt hơn hết, chúng ta sẽ cùng nhau theo dõi Archimède nối khớp phương pháp vét cạn trong ba thời điểm khi ông tính $S/R^2$ (về vai trò của phương pháp vét cạn, tk. Bài báo lịch sử về PHÉP TÍNH VI LƯỢNG). Đầu tiên, Archimède thiết lập đẳng thức giữa $S/R^2$ và p/d, với p là chu vi đường tròn và d là bán kính của nó.

Giai đoạn 1: áp dụng suy luận phản chứng. Gọi S là diện tích của một hình tròn và T là diện tích của tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là bán kính và chu vi của hình tròn ấy. Việc chứng minh đẳng thức giữa các tỷ lệ $S/R^2$ và p/d trở thành việc thiết lập đẳng thức diện tích giữa S và T.
Như vậy, ý tưởng là chứng minh rằng không thể xảy ra hai bất đẳng thức nghiêm ngặt S>T và S<T.


Giai đoạn 2: áp dụng một tiến trình thuật toán phân đôi với một sự vận hành gần như đại số trên các lôgic mệnh đề. Thí dụ, để chứng minh rằng bất đẳng thức S>T không thể xảy ra. Archimède nội tiếp một hình vuông trong hình tròn, sau đó chia đôi các cung để dựng một hình bát giác nội tiếp, và rồi ông lại tiếp tục tiến trình phân đôi như vậy. Ở mỗi bước, ông thực hiện việc đánh giá phần diện tích còn thiếu để đạt bằng diện tích hình tròn. Ông chứng minh rằng, trong bước chuyển từ hình vuông sang hình bát giác, ta thêm được hơn một nửa diện tích còn thiếu giữa hình vuông so với hình tròn và rằng cứ mỗi lần thực hiện sự phân đôi đều thêm được như vậy. Tiên đề Eudoxe-Archimède cho phép chứng minh không mấy khó khăn rằng, khi kết thúc một bước phân đôi nào đó, sai biệt diện tích giữa hình tròn và đa giác ở bước ấy sẽ nhỏ hơn bất kỳ một lượng cho trước. Nếu giả sử rằng hiệu giữa S và T chính là lượng chọn trước, ta suy ra diện tích T sẽ nhỏ hơn diện tích của đa giác sau một bước phân đôi nào đó. Thế nhưng, diện tích của đa giác trên hình vẽ bằng diện tích của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là bán kính đường tròn và chu vi của đa giác; mà đa giác nội tiếp trong hình tròn; do tính chất lồi, chu vi của nó phải nhỏ hơn chu vi hình tròn. Vậy, diện tích đa giác phải nhỏ hơn T, và điều này dẫn đến mâu thuẩn. Lý luận tương tự cho trường hợp S < T, bằng cách sử dụng tiến trình phân đôi đối với hình vuông ngoại tiếp hình tròn.

Giai đoạn 3: chặn tỷ lệ, được thực hiện bởi một công cụ thuật toán (tk. THUẬT TOÁN, chương 1) với sự tham gia của các tính toán xấp xỉ. Xuất phát từ đẳng thức $S/R^2 = p/d$, Archimède tiến hành đánh giá các độ dài cạnh của các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp tương ứng trong mỗi bước phân đôi. Nếu diễn tả theo ngôn ngữ hiện đại thì chiều dài cạnh $a_n$ của đa giác n cạnh sẽ cho biết độ dài $a_{2n}$ của đa giác 2n cạnh qua công thức:

$a_{2n} = \dfrac{{a_n R}}{{\sqrt {R + R^2 + ({{a_n } {/ {2}})^2 } }} $

Archimède chỉ phát biểu kết quả theo kiểu hình học thông qua tỷ lệ thức, như vậy có thể việc thao tác trên các tỷ lệ thức đã rất thuần thục và được đại số hóa. Ở mỗi bước, phải đánh giá căn bậc hai và Archimède xấp xỉ nó bằng các số hữu tỷ, nhưng ông không giải thích gì; có lẽ ông xem công việc xấp xỉ như đã rất quen thuộc, nếu chúng ta giả sử rằng trào lưu số học thời ấy rất mạnh; hay có lẽ ông đã xử lý vấn đề này trước đó mà chúng ta không được biết. Dừng lại ở đa giác 96 cạnh, ông nhận được chặn đã nói. Phải chú ý rằng phương pháp vét cạn pha trộn hai khía cạnh lý thuyết và số học, cái này dựa và cái kia và ngược lại. Đặc điểm này chỉ có ở nền toán học Hy lạp mà không tồn tại trong nền toán học Trung hoa dẫu rằng ở đó, họ đạt được những xấp xỉ đáng kinh ngạc về số $\pi$ (tk. TRUNG HOA -Khoa học và kỷ thuật ở Trung hoa).

Chúng ta nhắc lại một cách khái quát về hoàn cảnh khoa học luận của việc xây dựng các tỷ lệ. Cuộc khủng hoảng trí tuệ gây ra do sự xuất hiện các số vô tỷ quả thật đã gợi lên những ý nghĩa sâu sắc và một sự kết nối trong các tiến trình trí tuệ. Đầu tiên, rất có thể, nó biểu thị một sự nghi ngờ cơ bản về những khả năng của các suy luận logic-suy diễn bởi ý nghĩa đời thường của chúng đã bị bác bẻ. Mối nghi ngờ này thể hiện trong các nghịch lý của Zénon, mà nổi tiếng nhất là nghịch lý về Achille với đôi chân rất nhanh nhưng không bao giờ bắt kịp con rùa, cứ mỗi lần Archille chạy nốt đoạn đường trong khoảng cách so với con rùa thì con vật này lại nhích lên một chút. Người ta đã quá nhấn mạnh vào khía cạnh gắn với chuyển động của các nghịch lý này, và như vậy, tạo nên tiến trình gắn với sự vô hạn, cũng như trong sự liên tục đối với sự rời rạc. Zénon đưa ra một mâu thuẩn kép về việc sử dụng giả thiết hữu tận hay vô tận cho sự liên tục. Sự mâu thuẩn xuất hiện nếu giả sử rằng thời gian, mô hình liên tục, được tạo bởi các tíc tắc rời rạc (không chia được vô hạn lần) và độ dài sẽ chia được vô hạn lần (không có cấu tạo nguyên tử). Nhưng cũng sẽ mâu thuẩn khi giả sử thời gian và độ dài đều có cấu tạo nguyên tử, hoặc khi giả sử cả hai đều chia được vô hạn lần (quan niệm về sự liên tục trước thời Eudoxe); mâu thuẩn trong trường hợp sau cùng là do việc sử dụng các suy luận và tính toán chỉ phù hợp với sự rời rạc (tk. LIÊN TỤC VÀ RỜI RẠC).

Các nghịch lý của Zénon được giải quyết tại hai thời điểm. Một mặt, việc tính các chuỗi cho thấy rằng tổng của một họ vô số các lượng càng lúc càng nhỏ. Mặt khác, lý thuyết các bản số, của Cantor, chỉ ra sự đối lập "đếm được" và "không đếm được", đồng thời làm rõ các bẫy của một phép tính mạo xưng là số đối với các số vô hạn (số siêu hạn). Eudoxe, Aristote, Spinoza hay Bergson và những người khác nữa đều chú ý đến vấn đề này. Theo Eudoxe, sự liên tục đến từ dữ kiện chia được vô hạn lần, được xây dựng như một mô hình phổ quát đoạn cuối của một sự lý thuyết hóa chặt chẽ và đáp ứng một phép tính nào đó. Tuy nhiên, theo quan niệm của chủ nghĩa Platon, bởi vì ta xuất phát từ giả thiết, rồi mới tiến hành suy diễn logic, ta có thể đạt tới tư tưởng thuần túy; nói riêng, các tỷ lệ không thừa hưởng mọi thế mạnh của phép toán số rời rạc. Euclide nhắc lại toàn bộ lý thuyết tỷ lệ nhằm xem xét các tính chất của số hữu tỷ chưa được áp dụng trong quyển sách thứ V. Với Aristot, tinh thần của sự liên tục là tính chia được vô hạn lần, điều này giải quyết được một mặt các nghịch lý của Zénon, nhưng vẫn còn lại một mâu thuẩn cuối. Aristote thì tập trung vào việc phân biệt sự vô hạn ảo và vô hạn thực, và để lại các ý nghĩ toán học chỉ nhắm vào mặt mâu thuẩn đầu tiên. Kant sẽ xét lại tất cả các thái độ này mà những tương phản của chúng làm giới hạn sức mạnh của lý thuyết tỷ lệ (tk. SỰ VÔ HẠN TOÁN HỌC).

Trước khi xét đến các khía cạnh khác tạo nên số thực, chúng ta hãy tạm bỏ qua nhiều thế kỷ để theo các cuộc phiêu lưu của lý thuyết các tỷ lệ thức.

(còn tiếp)
Jean DHOMBRES

[bachocnhi]

Con nữa đấy, để em post tiếp. Có một số cái trong này em ko hiểu lắm.

Nếu diễn tả theo ngôn ngữ hiện đại thì chiều dài cạnh a_n.gif" $ của đa giác n cạnh sẽ cho biết độ dài của đa giác 2n cạnh qua công thức...:

Để hôm khác em post tiếp, gần 12 h rồi