Chủ đề này có 1 trả lời

[QUANVU]

Cho dãy bị chặn $(a_n)_{n\geq 1}$ các số thực thỏa mãn $a_n<\sum_{k=n}^{2n+2006}\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{1}{2n+2007}\forall n\geq 1$. Chứng minh rằng $a_n<\dfrac{1}{n}\forall n\geq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QUANVU: 01-02-2007 - 12:48

[caothudainoi]

xét dãy b_k=a_k-1/k với mọi k>=1;
như vậy (b_k) la` dãy bị chặn
thay vao` bất đẳng thức ở đề bài ta có b_n<[b_n/(n+1)+....+b_(2n+2006)/(2n+2007)] (1)
Ta thấy s(n)=1/(n+1)+....+1/(2n+2007)<ln(2+2008/n) suy ra tồn tại N tự nhiên ma` s(n)<1 với mọi n>=N;
Xét M=supb_k với k>=N
*TH1 tồn tại k>=N ma` b_k=M
suy ra M<[b_k/(k+1)+...b_(2k+2006)/(2k+2007))<Mxs(k) suy ra M<0 suy ra b_t<0 với mọi t>=N
*TH2 không tồn tại k thỏa mãn như TH1:
tồn tại một dãy con {b_ik} ma` b_ik->M khi k vô cùng,va` ik là dãy đơn điệu tăng
với mọi e>0 tồn tại k đủ lớn mà b_ik>M-e
Ta có M-e<Mxs(ik) cho kra vô cùng suy ra M<=0
như vậy b_k<0 với mọi k>=N
bằng cách giật lùi ta suy ra b_k<0 với mọi k tự nhiên
Bài toán xong