Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HUYVAN: 25-03-2007 - 10:15
#1
Đã gửi 25-03-2007 - 10:13
HUYVAN
-
- Hiệp sỹ
-
- 1126 Bài viết
CTCVAK08
Hãy tìm tất cả các đa thức $P_n(x)$ có hệ số nguyên và dưới dạng: $P_n(x)=!nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_1x+(-1)^n(n+1)n$, có $n$ nghiệm thực $x_1, x_2, ..., x_n$ thỏa mãn điều kiện $x_k\in [k, k+1], k=1, 2, ..., n$ và $n \geq 1$
#3
Đã gửi 26-03-2007 - 18:22
TamTam
-
- Thành viên
-
- 67 Bài viết
Hạ sĩ
Có lẽ là $\large n!$.
Ta chứng minh không có $\large n \geq 3$ thỏa yêu cầu.
Giả sử $\large f(x) = n!.(x-x_1)..(x-x_n)$. Chọn $x = 0$ có $(-1)^n.n(n+1) = n!.x_1..x_n$
Với $\large x_k \in [k,k+1]$ thì $\large n! \leq x_1..x_n = \dfrac{n+1}{(n-1)!} \leq \dfrac{n+1}{2} < n!$
Do đó, chỉ xét với $n = 1,2$, dễ tìm được $f_1(x) = x-2$,$f_2(x) = 2x^2-7x+6, 2x^2-8x+6$.
Ta chứng minh không có $\large n \geq 3$ thỏa yêu cầu.
Giả sử $\large f(x) = n!.(x-x_1)..(x-x_n)$. Chọn $x = 0$ có $(-1)^n.n(n+1) = n!.x_1..x_n$
Với $\large x_k \in [k,k+1]$ thì $\large n! \leq x_1..x_n = \dfrac{n+1}{(n-1)!} \leq \dfrac{n+1}{2} < n!$
Do đó, chỉ xét với $n = 1,2$, dễ tìm được $f_1(x) = x-2$,$f_2(x) = 2x^2-7x+6, 2x^2-8x+6$.
Après la pluie, le beau temps!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
