Chủ đề này có 4 trả lời

[quanghoa]

Cho a,b,c >0 và $ \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng $ \dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ba} >= \dfrac{a+b+c}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 11-08-2011 - 20:41

[E. Galois]

Cho a,b,c >0 và $ \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng $ \dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ba} >= \dfrac{a+b+c}{4}$

Hôm nay là sinh nhật quanghoa, chúc bạn vui khỏe.

Đề nghị mọi người tham gia giải bài toán này để chúc mừng sinh nhật bạn ấy

[hoangduc]

Cho a,b,c >0 và $ \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng $ \dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ac}+\dfrac{c^2}{c+ba} >= \dfrac{a+b+c}{4}$

Ta có: $a+bc=a+bc(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=a+b+c+\dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2+ab+ac+bc}{a}=\dfrac{(a+b)(a+c)}{a} $

Do đó bất đẳng thức cần cm tương đương với:
$\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\dfrac{c^3}{(c+a)(c+b)} \ge \dfrac{a+b+c}{4} $

Áp dụng BĐT AM-GM:
$\dfrac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge \dfrac{3a}{4} $

Cộng BĐT trên với 2 bất đẳng thức tương tự ta có ngay đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3 $

[le_hoang1995]

mình có một cách khác nè, chậm hơn, dùng bdt bunhiaxcopki
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge {3^3} \Leftrightarrow 9\sqrt[3]{{abc}} \ge abc\left( 1 \right) \\ $
$ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\left( 2 \right) \\ $
từ 1 va 2:
$3(a + b + c) \ge abc \Leftrightarrow 4(a + b + c) \ge a + b + c + abc \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{1}{4} \\ $
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow ab + bc + ca = abc \\ $
$ \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + ab}}} \right)\left( {a + bc + b + ca + c + ab} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \\ $
$ \Leftrightarrow VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + ab + ac + bc}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{4} \\ $
Hơi lằng nhăng một chút

[taminhhoang10a1]

bạn ơi dùng kĩ thuat côsi ngược dấu là xong

Moderator edit: Đề nghị bạn ghi có dấu, và phải ghi cho kĩ lời giải, không nên nói chư thế này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 09-08-2011 - 20:46