Chủ đề này có 12 trả lời

[TamTam]

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn đẳng thức sau với mọi $x$ :
$P(x).P(x+1) = P(x^2)$

[tanlsth]

Mấy cái bài dạng này cũ lắm rồi
Một kết quả tổng quát là phương trình đa thức dạng $ f(G(x)).f(H(x))=f(P(x)) $ với $ degG+degH=degP $ thì có duy nhất 1 nghiệm đa thức
Áp dụng vào ta có kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 25-04-2007 - 18:17

[anhcuong]

Tân nói cũng đúng nhưng mà có điều là vậy nè, ai chưa biết thì nên chỉ cho người ta tận tình 1 chút
bài này ta xét 2 trường hợp, P(x) = const thì p(x)=0 hoặc p(x) = 1
nếu p(x) khác const thì degp(x) = 2n. So sánh hệ số => a_{2n} = a_{0} = 1, từ đây giải tiếp là ra

[chuong_pbc]

em có bài này cũng tương tự
Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn đẳng thức sau với mọi x
$P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuong_pbc: 26-04-2007 - 22:42

[TamTam]

Kết quả các bác nêu ra ở trên là đúng rồi, nhưng để mình viết rõ lời giải của mình ra vậy.
Xét $P$ hằng số, dễ thui $P(x)=1,P(x)=0$.
Đặt $P(x) = x^m.(x-1)^n.Q(x)$ với $m,n$ tự nhiên và $Q(x)$ là đa thức thoả $Q(0),Q(1)$ khác $0$. Thay vào giả thiết nhận được
$(x+1)^m.x^n.Q(x).Q(x+1)=x^m.(x+1)^n.Q(x^2)$
đúng với mọi $x$ khác $0,1$. Do đó, nó cũng đúng với mọi $x$.
Giả sử $\large m > n$, với mọi $x$ khác $0,-1$, ta có
$\large (x+1)^{m-n}.Q(x).Q(x+1)=x^{m-n}.Q(x^2)$
Đẳng thức này đúng với vô hạn $x$ nên nó cũng đúng với mọi $x$. Cho $x=0$ ta có mâu thuẫn là $Q(0).Q(1)=0$!!
Với $\large m <n$, xét tương tự.
Vậy $m=n$ và với mọi $x$ ta có $Q(x).Q(x+1)=Q(x^2)$.
Nếu $Q$ khác hằng số, giả sử có số phức $x_0$ khác $0,1,-1$ mà $Q(x_0)=0$. Khi đó $x_0,x_0^2,..,x_0^{2^k}$ đều là nghiệm của $Q(x)$ với mọi $k$, vậy $Q(x)=0$ với mọi $x$, vô lý với $Q(0)$ khác $0$.
Vậy $Q$ là hằng số.
Từ đây, $P(x)=x^k.(x-1)^k$ với $k$ tự nhiên.
Đối với loại này mình nghĩ dùng nhận xét của Tân là cách tổng quát nhất.

[chuong_pbc]

Đặt $P(x) = x^m.(x-1)^n.Q(x)$

làm sao lại đặt như vậy được hả bạn .Phải là $P(x) = x^m.(x-1)^n.Q(x) +R(x)$

[TamTam]

Mình nghĩ chuongpbc nói chưa đúng…
Mình không hiểu tại sao lại có đa thức $R(x)$.
Mọi đa thức hệ số thực luôn viết được dưới dạng $P(x)=x^m.(x-1)^n.Q(x)$, $m$ và $n$ ở đây là số tự nhiên và có thể bằng $0$, bác hiểu chứ…Mình nghĩ ý bác là phép chia đa thức nguyên, nhưng trong điều kiện bài toán thì $P$ là đa thức hệ số thực nên mình có thể viết được như vậy…
Không còn vấn đề gì chứ!

[minhtoan]

Thấy TamTam nhiệt tình với các bài đa thức dạng này quá, mình xin đóng góp thêm vài bài có dạng tương tự, TamTam giải quyết nốt luôn nhé
Bài 1: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho $P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)$
Bài 2: Tìm tất cả đa thức có hệ số thực $P(x)P(-x)=P(x^2-1)$
Bài 3: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho $P((x+1)^2)=P(x^2)+2x+1$

[dtdong91]

CÒn bài trên báo THTT thì sao ạh
Tìm tất cả đa thức hệ số thực t/mãn
$ P(x).P(x+1)=P(x^2+2)$ với mọi x R

[minhtoan]

CÒn bài trên báo THTT thì sao ạh
Tìm tất cả đa thức hệ số thực t/mãn
$ P(x).P(x+1)=P(x^2+2)$ với mọi x R

Bài tháng mấy thế dtdong?

[chuong_pbc]

Bài tháng mấy thế dtdong?

số tháng 11/ 2006

[TamTam]

Cám ơn minhtoan… Nhiều bài quá, trong khi không có thời gian post đầy đủ lời giải nên nêu hướng giải quyết vậy…
Tất cả các bài này chú ý xét $P$ là hằng số…
$1.$Hãy chứng minh nếu $P$ tồn tại thì $P$ vô nghiệm thực. Đặt $P(x)=a(x^2+1)^n+Q(x)$ với $a$ khác $0$. Hãy chỉ ra $Q$ đồng nhất $0$.
2. Có thể sử dụng phương pháp mình đã trình bài ở bài mà mình đã góp ý cho chuongpbc. Kết quả $P(x)=(x^2+x)^n$.
3. Trừ hai vế cho $(x+1)^2$ rồi đặt $Q(x)=P(x^2)-x^2$ thì $Q$ là hằng số (lý luận ngắn thui), suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $\large x \geq 0$, suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $x$.
Các bài ở trên đều có thể giải được bằng phương pháp số phức hoặc sử dụng bổ đề của Tân.

[minhtoan]

Cám ơn minhtoan… Nhiều bài quá, trong khi không có thời gian post đầy đủ lời giải nên nêu hướng giải quyết vậy…
Tất cả các bài này chú ý xét $P$ là hằng số…
$1.$Hãy chứng minh nếu $P$ tồn tại thì $P$ vô nghiệm thực. Đặt $P(x)=a(x^2+1)^n+Q(x)$ với $a$ khác $0$. Hãy chỉ ra $Q$ đồng nhất $0$.
2. Có thể sử dụng phương pháp mình đã trình bài ở bài mà mình đã góp ý cho chuongpbc. Kết quả $P(x)=(x^2+x)^n$.
3. Trừ hai vế cho $(x+1)^2$ rồi đặt $Q(x)=P(x^2)-x^2$ thì $Q$ là hằng số (lý luận ngắn thui), suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $\large x \geq 0$, suy ra $P(x)=x+c$ với mọi $x$.
Các bài ở trên đều có thể giải được bằng phương pháp số phức hoặc sử dụng bổ đề của Tân.

Mình chưa check lời giải của TamTam nhưng chắc là không sai . Đúng là tất cả các bài này đều có thể giải bằng phương pháp số phức. Mình cũng có một bài đa thức hệ số phức trông cũng tạm, TamTam nếu rảnh thì vào giải quyết luôn nhé!
Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số phức thỏa mãn: $P(x)P(-x)=P(x^2)$