Chủ đề này có 2 trả lời

[Hero TVƠ]

Bài 1 cho A,B,C là ba góc 1 tam giác
Cm b đt
(1+sinA) (1+sinB) (1+sinC) < $ e^{ \dfrac{ 3\sqrt{3} }{2} } $ (e mũ đó nha trông hơi xấu)
Bài 2 Cho a ,b, c dương và a+b+c=1
Cm b đt
$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} $ $ \geq $$ \dfrac{25}{1+48abc} $
Bài 3
$ \dfrac{c^2}{a}+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c} $ $ \geq $ 3$ \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} $

[10maths_tp0609]

bài 3 nhé:
Giả sử c=min(a,b,c).
ta có:
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}-a-b-c=\dfrac{a^2-b^2}{b}+\dfrac{b^2-c^2}{c}+\dfrac{c^2-a^2}{a} $
$ =\dfrac{a^2-b^2}{b}+\dfrac{b^2-c^2}{c}-\dfrac{a^2-b^2}{a}-\dfrac{b^2-c^2}{a}=\dfrac{a+b}{ab}(a-b)^2+\dfrac{b+c}{ac}(a-c)(b-c) $
$ \dfrac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c) = \dfrac{2a+2b}{a^2+b^2+c^2}(a-b)^2+\dfrac{a+b+2c}{a^2+b^2+c^2}(a-c)(b-c) $
Vậy: $ f(a,b,c)= M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) $ trong đó
M= $ \dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{2(a+b)}{a^2+b^2+c^2} $
N= $ \dfrac{b+c}{ac}-\dfrac{a+b+2c}{a^2+b^2+c^2} $
dễ thấy M 0.
ta có: N 0 <=>$ (a^2+b^2+c^2)(b+c) \geq ac(a+b+2c) $
$ (a^2+b^2+c^2)(b+c) \geq 2c(a^2+b^2+c^2)=c[a^2+(\dfrac{1}{8}a^2+2b^2)+(\dfrac{1}{2}a^2+2c^2)+\dfrac{3}{8}a^2) > c(a^2+ab+2ac)=ac(a+b+2c) $
vậy N 0 => dpcm.

còn bài 2 dồn biến: $ f(a,b,c) \geq f(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}) $

chặt hơn bài 3 nè:
CMR với mọi a,b,c > 0 ta có
$ \sum_{cyc}\dfrac{a^{2}}{b} \geq 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 10maths_tp0609: 27-04-2007 - 23:20

[dtdong91]

Bài 2 có thể dùng
$ ab+bc+ca-9abc+16abc(3(ab+bc+ca)-1) \geq 0$
đồng bậc và đưa về SOS
$ ab+bc+ca-9abc= \sum b(a-c)^2$
$ 3(ab+bc+ca)-1=-\dfrac{1}{2} (\sum (a-b)^2)$