Chủ đề này có 20 trả lời

[toilachinhtoi]

Bạn hãy thử giải bài toán sau:

Cho $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k\geq 0$ là những số nguyên thỏa mãn

$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2=n^2-1,x_1+...+x_k=3n-3$, ở đây n là một số tự nhiên.

Chứng minh rằng: $x_1+x_2+x_3\geq n+1$.

Đây là một bài toán cực kì đơn giản, đơn giản hơn nhiều những bất đẳng thức nhan nhản gặp trong các bài toán khó, nâng cao,...của môn toán phổ thông ở nước ta.

Điểm đặc biệt của bài toán này là ở chỗ nào?

Đây là một bài toán đơn giản nhưng nó xuất phát từ một vần đề trong hình học song hữu tỉ (birational geometry), và nó được gọi là những phương trình điều kiện (equations of conditions). Đây là những phương trình mà những bội (multiplicities) của những điểm cơ bản (fundamental points, hay còn gọi là indeterminacy points) của một ánh xạ birational của P^2 (plane Cremona mappings) phải thỏa mãn.

Một bài học ở đây là: có nhiều bài toán có thể dễ hơn những bài toán đố mà bạn đang làm (một cách hăng say?) Chọn đúng bài toán để làm là điều quan trọng nhất.

[Alexi Laiho]

Bạn hãy thử giải bài toán sau:

Cho $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k\geq 0$ là những số nguyên thỏa mãn

$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2=n^2-1,x_1+...+x_k=3n-3$, ở đây n là một số tự nhiên.

Chứng minh rằng: $x_1+x_2+x_3\geq n+1$.

Đây là một bài toán cực kì đơn giản, đơn giản hơn nhiều những bất đẳng thức nhan nhản gặp trong các bài toán khó, nâng cao,...của môn toán phổ thông ở nước ta.

Điểm đặc biệt của bài toán này là ở chỗ nào?

Đây là một bài toán đơn giản nhưng nó xuất phát từ một vần đề trong hình học song hữu tỉ (birational geometry), và nó được gọi là những phương trình điều kiện (equations of conditions). Đây là những phương trình mà những bội (multiplicities) của những điểm cơ bản (fundamental points, hay còn gọi là indeterminacy points) của một ánh xạ birational của P^2 (plane Cremona mappings) phải thỏa mãn.

Một bài học ở đây là: có nhiều bài toán có thể dễ hơn những bài toán đố mà bạn đang làm (một cách hăng say?) Chọn đúng bài toán để làm là điều quan trọng nhất.

Không hiểu anh TLCT định nói những điều này với ai?

[Kakalotta]

Tóm lại là anh TLCT dự định nói điều gì thông qua bài viết này? Phát biếu một điều hiển nhiên về sự quan trọng của cách đặt bài toán? Hay là anh định chứng minh rằng các bài toán phổ thông của chúng ta là vô bổ? Hay là anh định đưa ra các bài học để cho các em HSSV noi theo? Hay là thảo luận thuần túy về hình học đại số?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 16-06-2007 - 00:10

[Alexi Laiho]

Nêu thảo luận thuần túy về hình học đại số thì những thứ anh TLCT đưa ra cổ điển quá. Hôm nọ chỗ anh Hải có 1 giáo sư già từ Liverpool đến báo cáo về Bundles of rank 2 on algebraic curves and their sections mà còn mọi người còn coi là cổ điển rồi, đến lúc vị giáo sư già báo cáo xong thì không ai đặt câu hỏi nào cả, cũng như cả buổi không ai hỏi gì. Nhưng nói về Bundles trên đường cong đại số còn hiện đại hơn mấy cái Cremona Transformation!!! Về phần này có khi 1 sinh viên năm thứ 2 mới học xong đại số giao hoán và đọc hết chương I cuốn hình học đại số của Hartshorne+ làm bài tập là trả nhời được rồi. Thật đáng tiếc là có nhiều người toàn đi giải quyết những vấn đề cổ lỗ sĩ có ra bài thì cũng không được cộng đồng những người làm hình học đại số hiện đại quan tâm, mà cái chính là cộng động những người làm toán hiện đại lại chiếm số đông và có tiếng nói!!!

[Alexi Laiho]

Anh TLCT à, anh toàn theo học Old School kiểu Italian Geometry em nghĩ là anh khó lòng phát triển lắm, bét nhất nếu anh đã nhắc tới nhiều lần minimal program conjecture của Mori thì cũng nên học các pp hiện đại để tiếp cận bài toán theo viewpoint hiện đại, chứ cứ luộc lại Cremona thì bao giờ mới khá lên được.

[Kakalotta]

cũng không hẳn, biêt đâu với năng lực kiệt xuất, nguời ta vẫn có thể tạo ra được một số cái break through ở những chỗ đó thì sao. Nên chúc anh ấy thành công và hi vọng.

[toilachinhtoi]

@every people:

_Mục đích post bài này của tôi trước hết là nhằm nói rằng có những bài toán nghiên cứu không khó hơn những bài toán đố, chỉ có ý nghĩa là khác nhau

_Tiếp theo thì xin trả lời Alexi và KK:

Biết kết quả hiện đại thì tốt, nhưng nếu mà biết về những phương pháp cổ điển thì càng tốt hơn. Hơn nữa theo như kiến thức nông cạn của tôi được biết thì hiện giờ vẫn chưa có kết quả nào tương tự như định lý Enriques cho một birational map cho số chiều cao hơn 2. Vậy nên trong lúc này nghiền ngẫm những kết quả cổ điển cũng hay vậy.

[Alexi Laiho]

Anh nhắc tới định lý nào của Enriques thế? Tất nhiên là classification problem ở dimension lớn hơn 2 là rất khó và còn nhiều open problems.

[toilachinhtoi]

Nếu ai có hứng thú về birational geometry thì xin mời vào đây thảo luận cho vui. Thanks.

[Alexi Laiho]

Ok thảo luận thì thảo luận. Chứng minh rằng: trên trường chark = 0 thì ko tồn tại dominant morphism từ P^2 vào mặt K3. (Mặt K3 ko unirational). Nêu 1 ví dụ về mặt K3 trên trường đặc số p mà luôn luôn unirational.

Enjoy!!!

[Alexi Laiho]

Ơ anh TLCT ko thích thảo luận về birational geometry nữa à? Ko thì chúng ta đổi sang thảo luận Weil conjecture cho mặt K3 cũng được.

[toilachinhtoi]

Câu 1: Định lý Castelnouvo và Zariski surface.

AL vào thảo luận tiếp đi.

Câu hỏi: Tìm điều kiện cần và đủ cho một birational self-map của một mặt S là 1-regular?

[Alexi Laiho]

to TLCT: Zariski sufaces là surfaces gì thế? Có phải là Zariski spaces với dim = 2? Định lý Castelnouvo phát biểu cho các đường cong exceptional với intersection number -1, không hiểu TLCT định áp dụng vào mặt K3 thế nào nhỉ? Về câu thứ 2 mà tôi đưa ra thì gợi ý là lấy ví dụ về pt Fermat $X_0^q +....+X_n^q = 1$, với q = p^n, chark = p.

Câu hỏi của TLCT: Chắc là tìm điều kiện cần và đủ sao cho $Bir(S) \simeq Aut(S)$? Result này tôi nghĩ có thể tìm trong Harris An Introduction to algebraic geometry. Modulo details thì tôi chỉ biết 1 ví dụ, là khi blow-up $\mathbb{P}^2$ tại 3 points in general position, vậy thì birational transformations (Cremona if you want) tương ứng với 1 lần blow-up then blow-down, làm thành 1 nhóm Bir(X) = Aut(X). Chi tiết có thể xem ví dụ trong sách của Hartshorne phần cubic Sufaces. Tổng quát hơn cho 1 mặt bất kỳ thì I dont know.

[toilachinhtoi]

@AL: Định lý Castelnouvo mà tôi nói ở đây là "Mọi unirational surface là rational" (có thể google, wiki hoặc xem chưong V của Complex Algebraic Surfaces của Beauville).

Còn 1 ánh xạ f:S->S là 1-regular nếu (f^*)^n=(f^n)^*, ở đây f^n là lặp thứ n của f, và f^* là hàm cảm sinh trên Picard group.

[toilachinhtoi]

Mượn tạm topic này nói một ít về một số hướng trong Complex Dynamics hiện nay mà tác giả được biết.

Nói chung thì complex dynamics nghiên cứu về phép lặp của những hàm số trên những complex manifold (ch3u yếu là những hàm hữu tỉ), hoặc compact hóa của những hàm đó (nghĩa là xét trong projective complex spaces).
Có thể tạm chia complex dynamics làm 2 hướng chính:

Hướng thứ nhất gần với dynamical system, như là xem xét những tập Fatou, Julia, Green... Hướng này sử dụng nhiều công cụ từ complex variables.

Hướng thứ hai gần với birational geometry, xem xét tác động trên cohomology ring, những tính chất của bỉational maps. Hướng này sử dụng nhiều công cụ từ algebraic geometry.

Việc phân chia này chỉ là tương đối, vì người ta có thể sử dụng những tính chất đại số của hàm f dể suy ra những tính chất giải tích của hàm f.

Một số kết quả đáng lưu ý:

_Dynamics trên K3: Đây là kết quả từ luận văn tiến sĩ ở ĐH Paris của Cantat. Tác giả vẫn chưa có dịp đọc công trình này nên không biết nhưng nghe nói đây là một công trình rất lý thú. Hiện nay Cantat đang là GS thỉnh giảng ở ĐH Yale.

_Kết quả của Đnh Tiến Cường và Sibony: Trong một bài báo trên Annals Maths, Đinh Tiến Cường và Sibony đã chứng minh một giả thuyết của Gromov. Hai tác giả này cũng có những kết quả có thể xem là cơ bản (một trong những kết quả này là Pullback currents đã được trình bày trên một topic trước đây).

_1-regular: Xem xét một birational map f:X->X ở đây X là projective complex manifold. Khi đó ta có thể định nghĩa $f^*:H^{1,1}(X)\rightarrow H^{1,1}(X)$. Một câu hỏi đơn giản là khi nào ta sẽ có $(f^*)n=(f^n)^*$. Thoạt nhìn thì đây là một câu hỏi trivial và stupid. Vấn đề là hàm f không được định nghĩa trên toàn X, do đó những tính chất của pullback trên cohomology của một hàm bình thường là không đúng.

Trong 2-dimension: Trong một bài báo trên American Journal, Diller và Favre đã chứng minh rằng nếu X là Kahler 2 chiều thì sau một số hữu hạn lần blowup f sẽ là 1-regular. Cũng trong 2 chiều, Favre đã chỉ ra là nếu f không birational thì kết quả không đúng.

Higher dimension: Có một số phát triển trong hướng này, nhưng vì những công trình tham khảo chưa được chính thức công bố nên chưa tiện nói ở đây.

[Kakalotta]

Bớ anh TLCT. Anh cho em hỏi cái.


Để giải cái phương trình [(D_t^2-D_x^2-D_y^2-D_z^2)+m^2]f(x,y,z,t)=c.dirac function thì ta làm thế nào hả anh? Nói cách ngắn gọn là tìm hàm green (\Laplace+m^2)f=dirac function

Ở đây f là một hàm suy rộng. Em biết là tính biến đổi F rồi, nhưng khi tính tích phân thì gặp một đống cái singularity tại các điểm p^2+m^2=0, trong đó p là angument liên hợp. sau đó thì em nghĩ là purtubate cái contour của tích phân phức theo kiểu đại số toán tử, nhưng chưa làm ra. Anh bảo hộ em bên PDE nó làm thế nào với.


phát hiện ra PDE mình ngu tệ, quên mất cách giải PDE sơ cấp rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 26-09-2007 - 05:57

[toilachinhtoi]

Chẳng biết cậu này hỏi thật hay giả đây?

Nói chung về cách giải mấy phương trình PDEs kiểu này thì tôi chẳng nhớ được, giở Evans ra chép công thức thì may ra. Nói chung là không biết, cậu xem Evans thử xem.

Về tích phân với kì dị trên đường lấy tích phân thì có cách chung là như sau: vẽ một nửa đường tròn nhỏ qua điểm kì dị, khi đó giới hạn tích phân trên nửa đường tròn khi bán kính tiến về 0 là bằng 1/2 của tích phân trên toàn đường tròn (nghĩa là tỉ lệ với chu vi).

[Alexi Laiho]

he he KK đang tính Propagator hả. Cái pt của KK là Klein-Gordon mà, chắc Evans ko viết về cái này đâu. Có phải là trong QFT KK phải tính cái hàm truyền $\int \dfrac{d^4k}{(2 \pi)^4} \dfrac{e^{-ikx}}{k^2 - m^2}$? Vậy thì chọn cái contour rồi làm như TLCT nói, đưa nó về $lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \int \dfrac{d^4k}{(2\pi)^4} \dfrac{e^{-ikx}}{k^2-m^2+i \epsilon}$, tức là nôm na cho thêm 1 số thuần ảo vào mẫu số, rồi ép cái nhiễu này về 0.

[Alexi Laiho]

à đọc kỹ lại thì thấy KK hỏi về cách giải pt này bằng pp hàm Green. Khi tính tại p^2 + m^2 = 0 thì có thể viết là (k+im)(k-im) = 0 rồi phân tích phân số thành tổng 2 phân số với mẫu số lần lượt là k+im và k-im rồi tính thôi. (để ý rằng k^2 = p^2, vì ta chọn hằng số plank = 1).

[Kakalotta]

Hêhe, chính xác là tính propagator trong lý thuyết trường lượng tử free, buồn buồn lôi ra trêu anh TLCT chút cho vui cửa vui nhà. Từ việc nghiên cứu cách giải PT này mà sinh ra 72 loại propagator khác nhau.
Đúng là dân có nghề nhìn cái biết ngay.