Phương trình của điều kiện: Một bất đẳng thức đơn giản
#1
Đã gửi 15-06-2007 - 10:18
Cho $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k\geq 0$ là những số nguyên thỏa mãn
$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2=n^2-1,x_1+...+x_k=3n-3$, ở đây n là một số tự nhiên.
Chứng minh rằng: $x_1+x_2+x_3\geq n+1$.
Đây là một bài toán cực kì đơn giản, đơn giản hơn nhiều những bất đẳng thức nhan nhản gặp trong các bài toán khó, nâng cao,...của môn toán phổ thông ở nước ta.
Điểm đặc biệt của bài toán này là ở chỗ nào?
Đây là một bài toán đơn giản nhưng nó xuất phát từ một vần đề trong hình học song hữu tỉ (birational geometry), và nó được gọi là những phương trình điều kiện (equations of conditions). Đây là những phương trình mà những bội (multiplicities) của những điểm cơ bản (fundamental points, hay còn gọi là indeterminacy points) của một ánh xạ birational của P^2 (plane Cremona mappings) phải thỏa mãn.
Một bài học ở đây là: có nhiều bài toán có thể dễ hơn những bài toán đố mà bạn đang làm (một cách hăng say?) Chọn đúng bài toán để làm là điều quan trọng nhất.
The Buddha
#2
Đã gửi 15-06-2007 - 20:31
Bạn hãy thử giải bài toán sau:
Cho $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_k\geq 0$ là những số nguyên thỏa mãn
$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2=n^2-1,x_1+...+x_k=3n-3$, ở đây n là một số tự nhiên.
Chứng minh rằng: $x_1+x_2+x_3\geq n+1$.
Đây là một bài toán cực kì đơn giản, đơn giản hơn nhiều những bất đẳng thức nhan nhản gặp trong các bài toán khó, nâng cao,...của môn toán phổ thông ở nước ta.
Điểm đặc biệt của bài toán này là ở chỗ nào?
Đây là một bài toán đơn giản nhưng nó xuất phát từ một vần đề trong hình học song hữu tỉ (birational geometry), và nó được gọi là những phương trình điều kiện (equations of conditions). Đây là những phương trình mà những bội (multiplicities) của những điểm cơ bản (fundamental points, hay còn gọi là indeterminacy points) của một ánh xạ birational của P^2 (plane Cremona mappings) phải thỏa mãn.
Một bài học ở đây là: có nhiều bài toán có thể dễ hơn những bài toán đố mà bạn đang làm (một cách hăng say?) Chọn đúng bài toán để làm là điều quan trọng nhất.
Không hiểu anh TLCT định nói những điều này với ai?
#3
Đã gửi 16-06-2007 - 00:10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 16-06-2007 - 00:10
#4
Đã gửi 16-06-2007 - 00:28
#5
Đã gửi 16-06-2007 - 00:34
#6
Đã gửi 16-06-2007 - 00:47
#7
Đã gửi 20-06-2007 - 07:39
_Mục đích post bài này của tôi trước hết là nhằm nói rằng có những bài toán nghiên cứu không khó hơn những bài toán đố, chỉ có ý nghĩa là khác nhau
_Tiếp theo thì xin trả lời Alexi và KK:
Biết kết quả hiện đại thì tốt, nhưng nếu mà biết về những phương pháp cổ điển thì càng tốt hơn. Hơn nữa theo như kiến thức nông cạn của tôi được biết thì hiện giờ vẫn chưa có kết quả nào tương tự như định lý Enriques cho một birational map cho số chiều cao hơn 2. Vậy nên trong lúc này nghiền ngẫm những kết quả cổ điển cũng hay vậy.
The Buddha
#8
Đã gửi 20-06-2007 - 08:16
#9
Đã gửi 26-06-2007 - 07:26
The Buddha
#10
Đã gửi 02-07-2007 - 21:30
Enjoy!!!
#11
Đã gửi 04-07-2007 - 21:39
#12
Đã gửi 07-07-2007 - 10:50
AL vào thảo luận tiếp đi.
Câu hỏi: Tìm điều kiện cần và đủ cho một birational self-map của một mặt S là 1-regular?
The Buddha
#13
Đã gửi 16-07-2007 - 20:25
Câu hỏi của TLCT: Chắc là tìm điều kiện cần và đủ sao cho $Bir(S) \simeq Aut(S)$? Result này tôi nghĩ có thể tìm trong Harris An Introduction to algebraic geometry. Modulo details thì tôi chỉ biết 1 ví dụ, là khi blow-up $\mathbb{P}^2$ tại 3 points in general position, vậy thì birational transformations (Cremona if you want) tương ứng với 1 lần blow-up then blow-down, làm thành 1 nhóm Bir(X) = Aut(X). Chi tiết có thể xem ví dụ trong sách của Hartshorne phần cubic Sufaces. Tổng quát hơn cho 1 mặt bất kỳ thì I dont know.
#14
Đã gửi 17-07-2007 - 07:16
Còn 1 ánh xạ f:S->S là 1-regular nếu (f^*)^n=(f^n)^*, ở đây f^n là lặp thứ n của f, và f^* là hàm cảm sinh trên Picard group.
The Buddha
#15
Đã gửi 04-09-2007 - 20:11
Nói chung thì complex dynamics nghiên cứu về phép lặp của những hàm số trên những complex manifold (ch3u yếu là những hàm hữu tỉ), hoặc compact hóa của những hàm đó (nghĩa là xét trong projective complex spaces).
Có thể tạm chia complex dynamics làm 2 hướng chính:
Hướng thứ nhất gần với dynamical system, như là xem xét những tập Fatou, Julia, Green... Hướng này sử dụng nhiều công cụ từ complex variables.
Hướng thứ hai gần với birational geometry, xem xét tác động trên cohomology ring, những tính chất của bỉational maps. Hướng này sử dụng nhiều công cụ từ algebraic geometry.
Việc phân chia này chỉ là tương đối, vì người ta có thể sử dụng những tính chất đại số của hàm f dể suy ra những tính chất giải tích của hàm f.
Một số kết quả đáng lưu ý:
_Dynamics trên K3: Đây là kết quả từ luận văn tiến sĩ ở ĐH Paris của Cantat. Tác giả vẫn chưa có dịp đọc công trình này nên không biết nhưng nghe nói đây là một công trình rất lý thú. Hiện nay Cantat đang là GS thỉnh giảng ở ĐH Yale.
_Kết quả của Đnh Tiến Cường và Sibony: Trong một bài báo trên Annals Maths, Đinh Tiến Cường và Sibony đã chứng minh một giả thuyết của Gromov. Hai tác giả này cũng có những kết quả có thể xem là cơ bản (một trong những kết quả này là Pullback currents đã được trình bày trên một topic trước đây).
_1-regular: Xem xét một birational map f:X->X ở đây X là projective complex manifold. Khi đó ta có thể định nghĩa $f^*:H^{1,1}(X)\rightarrow H^{1,1}(X)$. Một câu hỏi đơn giản là khi nào ta sẽ có $(f^*)n=(f^n)^*$. Thoạt nhìn thì đây là một câu hỏi trivial và stupid. Vấn đề là hàm f không được định nghĩa trên toàn X, do đó những tính chất của pullback trên cohomology của một hàm bình thường là không đúng.
Trong 2-dimension: Trong một bài báo trên American Journal, Diller và Favre đã chứng minh rằng nếu X là Kahler 2 chiều thì sau một số hữu hạn lần blowup f sẽ là 1-regular. Cũng trong 2 chiều, Favre đã chỉ ra là nếu f không birational thì kết quả không đúng.
Higher dimension: Có một số phát triển trong hướng này, nhưng vì những công trình tham khảo chưa được chính thức công bố nên chưa tiện nói ở đây.
The Buddha
#16
Đã gửi 26-09-2007 - 05:48
Để giải cái phương trình [(D_t^2-D_x^2-D_y^2-D_z^2)+m^2]f(x,y,z,t)=c.dirac function thì ta làm thế nào hả anh? Nói cách ngắn gọn là tìm hàm green (\Laplace+m^2)f=dirac function
Ở đây f là một hàm suy rộng. Em biết là tính biến đổi F rồi, nhưng khi tính tích phân thì gặp một đống cái singularity tại các điểm p^2+m^2=0, trong đó p là angument liên hợp. sau đó thì em nghĩ là purtubate cái contour của tích phân phức theo kiểu đại số toán tử, nhưng chưa làm ra. Anh bảo hộ em bên PDE nó làm thế nào với.
phát hiện ra PDE mình ngu tệ, quên mất cách giải PDE sơ cấp rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 26-09-2007 - 05:57
#17
Đã gửi 26-09-2007 - 08:07
Nói chung về cách giải mấy phương trình PDEs kiểu này thì tôi chẳng nhớ được, giở Evans ra chép công thức thì may ra. Nói chung là không biết, cậu xem Evans thử xem.
Về tích phân với kì dị trên đường lấy tích phân thì có cách chung là như sau: vẽ một nửa đường tròn nhỏ qua điểm kì dị, khi đó giới hạn tích phân trên nửa đường tròn khi bán kính tiến về 0 là bằng 1/2 của tích phân trên toàn đường tròn (nghĩa là tỉ lệ với chu vi).
The Buddha
#18
Đã gửi 30-09-2007 - 00:55
#19
Đã gửi 30-09-2007 - 01:12
#20
Đã gửi 30-09-2007 - 06:21
Đúng là dân có nghề nhìn cái biết ngay.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh