8 replies to this topic

[Le Minh Toan]

Mí anh giải giùm bài này nhé :
Cho (O,R) và một điểm I cố định bên trong đường tròn. AB là dây cung quay quanh I.
a) Chứng minh $IA.IB=R^2-OI^2$
b) Chứng minh IA.IB=IC.ID (CD là dây cung qua I)
c) Giả sử AB CD tại I. Chứng minh rằng $ AB^2 + CD^2= 8R^2 - 4OI^2 $ vị trí của các dây cung AB, CD sao cho diện tích ACBD lớn nhất.
d) Chứng minh $ IA^2 + IB^2 + IC^2 + ID^2 = 4R^2$
Cảm ơn mí anh nhìu

Edited by ilovemoney_hic, 15-07-2007 - 17:19.

[pirate]

Câu a:
Kéo dài OI cắt đường tròn (O) tại E, F.
Ta có:$ \triangle AIE \sim \triangle FIB \Rightarrow \dfrac{IA}{IE}=\dfrac{IF}{IB} $
$ \Rightarrow IA.IB=IE.IF=(OE-OI)(OF+OI)=R^2-OI^2$
Câu b: em tự chứng minh cho quen nhé, giống câu a thôi.
Câu d:Từ O lần lượt kẻ OM, ON vuông góc với AB, CD.
Theo định lý đường kính vuông góc với dây cung, suy ra M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Chứng minh MINO là hình chữ nhật $\Rightarrow MI=ON; MO=IN$
Ta có: $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=(MA+MI)^2+(MA-MI)^2+(ND-IN)^2+(NC+IN)^2$
$=2(MA^2+ON^2+NC^2+MO^2)=2(AO^2+OC^2)=4R^2$ (pythago)
Câu c:$ AB^2+CD^2=(IA+IB)^2+(IC+ID)^2=IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+2(IA.IB+IC.ID)$
$=4R^2+4IA.IB=4R^2+4R^2-4OI^2=8R^2-4OI^2$
Ta có:$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AB.CD \leq \dfrac{1}{4}(AB^2+CD^2)=2R^2-OI^2$ (không đổi)
Vậy GTLN của $S_{ABCD} $là $ 2R^2-OI^2$ đạt được khi AB=CD.

Edited by pirate, 12-07-2007 - 22:50.

[Gabriel]

Câu a thì không cần rắc rối như pirate. Ta khai triển R^2 - IO^2 = (R-IO)(R+IO) là ra.

Câu b thì ta chứng minh tương tự câu a với CD từ đó dùng tính chất bắt cầu

[pirate]

Sao lại rắc rối, giống nhau thôi mà

[Le Minh Toan]

Câu a:
Kéo dài OI cắt đường tròn (O) tại E, F.
Ta có:$ \triangle AIE \sim \triangle FIB \Rightarrow \dfrac{IA}{IE}=\dfrac{IF}{IB} $
$ \Rightarrow IA.IB=IE.IF=(OE-OI)(OF+OI)=R^2-OI^2$
Câu b: em tự chứng minh cho quen nhé, giống câu a thôi.
Câu d:Từ O lần lượt kẻ OM, ON vuông góc với AB, CD.
Theo định lý đường kính vuông góc với dây cung, suy ra M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Chứng minh MINO là hình chữ nhật $\Rightarrow MI=ON; MO=IN$
Ta có: $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=(MA+MI)^2+(MA-MI)^2+(ND-IN)^2+(NC+IN)^2$
$=2(MA^2+ON^2+NC^2+MO^2)=2(AO^2+OC^2)=4R^2$ (pythago)
Câu c:$ AB^2+CD^2=(IA+IB)^2+(IC+ID)^2=IA^2+IB^2+IC^2+ID^2+2(IA.IB+IC.ID)$
$=4R^2+4IA.IB=4R^2+4R^2-4OI^2=8R^2-4OI^2$
Ta có:$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AB.CD \leq \dfrac{1}{4}(AB^2+CD^2)=2R^2-OI^2$ (không đổi)
Vậy GTLN của $S_{ABCD} $là $ 2R^2-OI^2$ đạt được khi AB=CD.

Anh ơi tại sao ở câu c $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2$ chẳng lẽ mình chứng minh trước câu d sao anh.

[pirate]

Chắc vậy thôi em ạ!!!!

[pirate]

Đừng quá lo về vấn đề này. Trong những kì thi, lúc nào trình tự câu hỏi cũng được sắp xếp một cách logic, câu trước bổ sung cho câu sau.
Hoặc là em có thể lấy phẩn chứng minh ở câu d cho vào câu c. Đến câu d, em viết lại. (hơi tốn công)

[ngo duy thanh]

Đừng quá lo về vấn đề này. Trong những kì thi, lúc nào trình tự câu hỏi cũng được sắp xếp một cách logic, câu trước bổ sung cho câu sau.
Hoặc là em có thể lấy phẩn chứng minh ở câu d cho vào câu c. Đến câu d, em viết lại. (hơi tốn công)

chua chac nha nhu ki` thi tuyen sinh lop 10 vua roi` kia` cau c,d xep sai cho~ kia

[ilovemoney_hic]

Thực ra bài này không cần chứng minh câu d trước câu c. Theo nguyênn tắc nếu em dùng kết quả câu d cm câu c thì phải chứng minh câu d trong phần c và chép lại "sạch đẹp" ở phần d vì vậy điều này nên tránh (dĩ nhiên lúc thi mà cuống thì cách nào cũng phải làm):
c) $ AB^2 + CD^2= 4(MB^2+NC^2)= 4(R^2- OM^2+R^2-ON^2)=4(2R^2- (OM^2+ON^2))=8R^2-2OI^2$