Weights(Deligne):
$\mathbb{C}$-geometry<---------------------------------------------------->$\mathbb{F}_q$-geometry
weight in Hodge theory<------------------->weight for eigenvalues of geometric Frobenius acting on l-adic cohomology
classical Hodge theory<--------------------------------> Weil conjecture/ X projective smooth/ $\mathbb{F}_q$
1) X projective smooth/C
Singular cohomology pure Hodge structure<-----------> Weights are pure
2) X not projective, Hodge theory not pure, mixed Hodge theory <----> Weights are not pure / F_q
Level(Deligne):
Level in Hodge theory/mixed Hodge theory/Hodge filtration<--->level for eigenvalues of geometric Frobenius acting on local cohomology
Theorem(Deligne): X/F_q scheme finite type then eigenvalues of Frob acting on local cohomology $H^i_c(X)$ finite dimensional.
Theorem(Chevalley-Warning): Let $0 \neq f \in \mathbb{F}_q[X_0,...,X_n]$ s.t deg(f) = d
n, then $| \{ x \in \mathbb{F}_q^{n+1}, f(x) = 0 \}| \equiv 0 \quad mod \quad p $.Proof: Các bạn có thể xem Serre cuốn Arithmetic.
1 cách hình học thì định lý Chevalley-Warning có thể phát biểu như sau:
$X \subset \mathbb{P}^n$ 1 siêu phẳng với deg = d
n, vậy thì $|
\mathbb{F}_q) \equiv 1 \quad mod \quad p $Lang-Manin đặt ra câu hỏi liệu Fano(F_q)
?Thm: Có, và tương tự như định lý Chevalley-Warning. Cách chứng minh: Sử dụng theorem nói trên của Deligne và motivic cohomology.
Nhóm cơ bản Grothendieck:
Cho X lược đồ kiểu hữu hạn /k, với k finite, l prim. x ---> X là 1 điểm hình học.
{finite etale covering của X} ---->
^{-1}(x) 
finite set. Lấy $\pi_1(X,x) \simeq Aut(\omega_X)$ là profinite group, với \omega_X là fiber funtor ở trên. Với fiber funtor \omega_X ta có:
Thm: Etcov(X) $\simeq \pi_1(X,x)$.
Details về nhóm cơ bản có thể tham khảo cuốn Milne: Etale Cohomology. Bài sau tôi sẽ post thêm phần lý thuyết Galois và hàm zeta trên $\mathbb{F}_q$
