Chủ đề này có 8 trả lời

[dshngocthien]

Những bài này mình đã đưa trong forum olympic nhưng chẳng có "ma" nào làm cả nên mạn phép đưa sang đây và thêm một hai bài nữa,dù sao đây cũng là bài tập cho sinh viên
bài 1
cho a $\in (0,1)$.hàm số f(x) liên tục trên [0,1] thỏa mãn f(0)=f(1)=0
chứng minh rằng $\exists$ b $\in (0,1)$ sao cho f(b)=(f(b-a) hoặc f(b)=f(b+a-1)
bài 2
cho f(x) khả vi vô hạn trên R thỏa mãn
a)tồn tại M>0 sao cho $-M< f^{n}(x) <M$ vói mọi x $\in$ R và n $\in $N trong đó $f^{n}(x)$ là đạo hàm cấp n của f
b)$f( \dfrac{1}{n})=0$ với mọi n $\in $N
chứng minh rằng f(x)=0 với mọi x
bài 3
giả sử f(x) liên tục trên[0,1] và có đạo hàm trên (0,1);thỏa mãn f(0)=0
chứng minh rằng $\int\limits_{0}^{1}/f(x)f'(x)/d(x) \leq \dfrac{1}{2} \int\limits_{0}^{1}( f'(x)^{2}d(x)$
bài 4
giả sử f(x) xác định và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn $f(x)+f"(x) \geq 0 \forall x$chứng minh rằng
$f(x)+f(x+ \pi ) \geq 0 \forall x $
mong các bạn xem qua và gợi ý cho tớ.Thank you very much.

[andrew wiles]

Bạn toàn lấy trong Olympic Toán Sv các năm ra thôi à?

[dshngocthien]

Chính xác là như vậy,mình đang cần lời giải của nó nhưng không biết tìm ở đâu

[vuhuutiep]

Giải luôn 2 bài,
Bài 1:
Mở rộng hàm $ f(x)$ thành $ f_{*}(x)$, vởi $ f_{*}(x) = f({x})$
xét hàm $g(x) = f_{*}(x+a) - f_{*}(x)$
$f(x)$ bị chặn, liên tục trên [0;1] -> $\exists min, max f(x)$
giả sứ $f( x_{0}) = max$ và $f( x_{1}) = min$, $ 0 \leq x_{0}, x_{1} \leq 1 $
ta có $g( x_{0} ) \leq 0 $ và $ g(x_{1} \geq 0 $
suy ra $\exists d $ nằm giữa $x_{0}, x_{1}$ mà $f_{*}(d +a)= f_{*}(d) $
Nếu $ d +a \leq 1$ chọn $ b = d + a $
Nếu $1\leq d +a \leq 2$ -> $ f_{*}(d) =f_{*}(d +a) = f(d +a -1) $ và $d+a -1 \leq 1$
dpcm
Bàì 2:

[vuhuutiep]

Bài 2:
Theo định lý Roll
$ \forall n, \exists x_{n} \in [ \dfrac{1}{n+1}; \dfrac{1}{n}] | f^{'}(x_{n}) = 0 \Rightarrow f^{'}(0) =0, \Rightarrow f^{(n)}(0) =0 \forall n \in N$

Theo công thức khai triển Macloranh$ f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n} \dfrac{f^{i}(0) x^{i}}{i!} + \dfrac{f^{n+1}( \varepsilon x) x^{n+1}}{(n+1)!} $
$\Rightarrow |f(x)| \leq \dfrac{Mx^{n+1}}{(n+1)!} \forall n$
$f(x)= 0 \forall x$

[mathnd]

Những bài này mình đã đưa trong forum olympic nhưng chẳng có "ma" nào làm cả nên mạn phép đưa sang đây và thêm một hai bài nữa,dù sao đây cũng là bài tập cho sinh viên
bài 1
cho a $\in (0,1)$.hàm số f(x) liên tục trên [0,1] thỏa mãn f(0)=f(1)=0
chứng minh rằng $\exists$ b $\in (0,1)$ sao cho f(b)=(f(b-a) hoặc f(b)=f(b+a-1)
bài 2
cho f(x) khả vi vô hạn trên R thỏa mãn
a)tồn tại M>0 sao cho $-M< f^{n}(x) <M$ vói mọi x $\in$ R và n $\in $N trong đó $f^{n}(x)$ là đạo hàm cấp n của f
b)$f( \dfrac{1}{n})=0$ với mọi n $\in $N
chứng minh rằng f(x)=0 với mọi x
bài 3
giả sử f(x) liên tục trên[0,1] và có đạo hàm trên (0,1);thỏa mãn f(0)=0
chứng minh rằng $\int\limits_{0}^{1}/f(x)f'(x)/d(x) \leq \dfrac{1}{2} \int\limits_{0}^{1}( f'(x)^{2}d(x)$
bài 4
giả sử f(x) xác định và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn $f(x)+f"(x) \geq 0 \forall x$chứng minh rằng
$f(x)+f(x+ \pi ) \geq 0 \forall x $
mong các bạn xem qua và gợi ý cho tớ.Thank you very much.

Nghe chú kể anh lại phải lục lại đống sách đã nát
Bài 3
Đặt $ F(x)=\int\limits_{0}^{x}|f(t).f'(t)|dt ; G(x)=\dfrac{x}{2}\int\limits_{0}^{x}(f'(t))^2dt$
suy ra: $F'(x)=|f(x).f'(x)|; G'(x)=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}\dfrac{x}{2}(f'(x))^2$
$\forall x\in [0,1]$
$|f(x)|=|\int\limits_{0}^{x}f'(t)dt|\leq \sqrt{x}.\sqrt{\int\limits_{0}^{x}(f'(t))^2dt}$(bđt tích phân)
$\to |f(x)|.|f'(x)|\leq \sqrt{x}.|f'(x)|.\sqrt{\int\limits_{0}^{x}(f'(t))^2dt}\leq \dfrac{x}{2}.(f'(t))^2+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{x}(f'(t))^2dt$
$\to F'(x)\leq G'(x)\to \int\limits_{0}^{x}F'(x)dx\leq\int\limits_{0}^{x}G'(x)dx\to F(1)\leq G(1)$.Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathnd: 13-11-2007 - 22:21

[tanlsth]

Còn bài cuối
Xét $ g(t)=f'(t)sin(t-y)-f(t)cos(t-y) $
Từ đó có $ g'(t) \geq 0 $
Suy ra $ g(x+\pi) \geq g(x) $
Suy ra điều phải chứng minh

[mathnd]

Thêm một bài liên tục
Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0,\infty]$ và $\underset{x\to \infty}{lim}f(x)=A$. Hãy tìm$\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits^{1}_{0}f(nx)dx{$.

[tanlsth]

Đổi biến $ t=nx $ suy ra bài toán cần tính là tìm $ lim_{n->+\infty}\int\limits_{0}^{n}\dfrac{f(x)dx}{n} $
Theo kết quả quen thuộc ta có giới hạn này chính bằng $ A $