Chủ đề này có 3 trả lời

[mathnd]

Cho A là ma trận thực cấp n, các phần tử a[i,j] có giá trị tuyệt đối bằng 1 với mọi i,j.
a) Chứng minh rằng det(A) là một số chẵn
b) Tìm giá trị lớn nhất của det(A) khi A là ma trận cấp 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathnd: 21-12-2007 - 20:36

[vuhuutiep]

a)Cũng cần lưu ý n>1.
Chững minh quy nạp theo n,
n =2 đúng
giả sử phát biểu đã đúng đến n-1,
Với n, tính định thức theo 1 dòn nào đó, nó sẽ là tổng của n số chắn suy ra nó là số chẵn
b)Khai triển $detA = a_{11} a_{22} a_{33} +a_{21} a_{32} a_{13}+ a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} $
Hiển nhiên $detA \leq 6 $
nếu $detA = 6 $ suy ra 3 số hạng đầu bằng 1 và 3 số hạng sau bằng -1, nhưng tích tích 3 số hạng đầu = tích 3 só hạng cuối, điều vô lý suy ra $detA < 6$
Xét ma trận A với 8 số = 1, 1 số = -1 ta có $detA = 4$
Vậy max$detA = 4$

[An Infinitesimal]

a)Cũng cần lưu ý n>1.
Chững minh quy nạp theo n,
n =2 đúng
giả sử phát biểu đã đúng đến n-1,
Với n, tính định thức theo 1 dòn nào đó, nó sẽ là tổng của n số chắn suy ra nó là số chẵn
b)Khai triển $detA = a_{11} a_{22} a_{33} +a_{21} a_{32} a_{13}+ a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} $
Hiển nhiên $detA \leq 6 $
nếu $detA = 6 $ suy ra 3 số hạng đầu bằng 1 và 3 số hạng sau bằng -1, nhưng tích tích 3 số hạng đầu = tích 3 só hạng cuối, điều vô lý suy ra $detA < 6$
Xét ma trận A với 8 số = 1, 1 số = -1 ta có $detA = 4$
Vậy max$detA = 4$

Mình cũng dự định là cm bằng qui nạp nhưng rồi thì không được , vì vốn kết quả cao hơn nhiểu là
chia hết cho $\large 2^{n-1}$
Nên n=3 thì nó chia hết cho 4
Và Tính định thức này theo hoán vị thì tổng không quá : n!=6
và ta chọn các số nằm trên đuờng chéo là 1 và còn lại là 1 thì có định thức=4
Nên 4 là GTLN

[An Infinitesimal]

Cho A là ma trận thực cấp n, các phần tử a[i,j] có giá trị tuyệt đối bằng 1 với mọi i,j.
a) Chứng minh rằng det(A) là một số chẵn
b) Tìm giá trị lớn nhất của det(A) khi A là ma trận cấp 3

Thử bài này
Dùng hoán vị thì có ngay :
Phân tích nó thành n! số chỉ nhận giá trị là :1 hoặc -1
$|A_n|=a_n-b_n$
Với $a_n+b_n=n!$
Ta cm hiệu trên chia hết cho $2^{n-1}$
Nhưng có lẽ không đúng vì nó hkông chuiyển tải hết đặc tính của ma trận!