Chủ đề này có 6 trả lời

[seven]

Ma trận C cấp n được gọi là "commutator" nếu C viết được dưới dạng AB-BA với A và B là 2 ma trận cấp n nào đó.CMR nếu C và D là commutator thì C+D cũng là commutator

[toanA37]

Bài này dễ mà!
+ Chứng minh trace(AB-BA) = 0, trace(A+B) = trace(A) + trace(B)
+ trace(A) = trace(B) = 0 thì trace(A+B) = 0
+ Ta chứng minh mọi ma trận A có trace(A) = 0 thì A = BC - CB với B, C nào đó

[vuhuutiep]

Nói như ban toanA37 thì ai mà chẳng biết, bạn hãy chứng minh đi rồi đưa bài lên.

[tanlsth]

Nhận xét nếu $ A $ là ma trận có tính chất $ A=XY-YX $ thì ma trận $ A_1 $ là ma trận nhận được từ A bằng cách bổ sung thêm một hàng và một cột mà phần tử ở vị trí góc đầu tiên bằng $ 0 $ thì $ A_1 $ cũng biểu diễn được dưới dạng đó
Sử dụng nhận nhét này ta có tồn tại ma trận $ S $ sao cho $ S^{-1}CS $ có dạng $ A_1 $ suy ra tồn tại $ X,Y $ sao cho $ S^{-1}CS=XY-YX $ suy ra $ C=(SXS^{-1})(SYS^{-1}) - (SYS^{-1})(SXS^{-1}) $ suy ra điều phải chứng minh
Đại ý là qui nạp lui.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 03-01-2008 - 11:04

[seven]

Có cách nào ngắn gọn hơn ko ?Có thể dùng ánh xạ tuyến tính hoặc ko gian vectơ đc ko?

[toanA37]

Gợi ý thế này vậy:
Nếu A có traceA=0, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tất cả các phần tử trên đường chéo của A bằng 0. Khi đó chọn B và C như sau:
Giả sử $A = (a_{ij}), B = (b_{ij}), C = (c_{ij})$. Khi đó với $ i \neq j : b_{ij} = c_{ij} = \dfrac{a_{ij}}{j-i}, b_{ii} = 0, c_{ii} =i$
Việc kiểm tra A = BC - CB dành lại cho bạn vuhuutiep nhé!
(Nếu A có traceA = O thì ta luôn tìm được ma trận P sao cho $A = PDP^{-1}$) với D là ma trận có các phần tử trên đường chéo bằng 0

[tanlsth]

Bài này mấu chốt chỉ ở chỗ đưa về ma trận có các phần tử trên đường chéo bằng 0 thôi.Còn cái đoạn chọn ma trận của bạn không đáng nói lắm, bài đó chắc ai cũng biết.