Chủ đề này có 2 trả lời

[tanlsth]

Cho $ A, B \in M_n( C )$ thỏa mãn $ AB=BA, det(A+zB)=1 $ với mọi $ z \in C : z^{n+1}=1 $
Chứng minh rằng $ B^n=0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 07-01-2008 - 20:57

[vuhuutiep]

Cậu ra bài khủng quá, chẳng nghĩ ra gì cả.

[tanlsth]

Đi thi về chán đời, cay cú.
Post lên không có lại mang tiếng

Xét $ det ( A+zB )= det ( A )+a_1.z+..+a_{n-1}.z^{n-1}+det ( B ).z^n=P_{AB}(z) $

Đa thức bậc $ n $ nhận giá trị $ 1 $ tại $ n+1 $ điểm suy ra $ P_{AB}(z)=1 $ với mọi $ z \in C $

Suy ra $ P_{AB}(0)=1 $ hay $ det ( A )=1 $ hay $ A $ khả nghịch

Lại có $ 1=det ( A+zB )=det (A^{-1}(A+zB))=det ( I_n+z.A^{-1}B )= z^ndet ( A^{-1}B+\dfrac{1}{z}I_n ) $ suy ra $ det ( A^{-1}B+xI_n )=x^n $ với mọi $ x \in C $

Suy ra đa thức đặc trưng của ma trận $ T=A^{-1}B $ là $ f_T(x)=x^n $

Theo định lí Cayley-Hamilton ta có $ f_T(T)=0 $ hay $ (A^{-1}B)^n=0 $ suy ra $ (A^{-1})^nB^n=0 $ (vì A,B giao hoán)

Hay ta có $ B^n=0 $

Bài toán được chứng minh, bác Quyền hết nghi ngờ trách móc em nhá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 08-01-2008 - 18:43