Câu 5 VMO 2008
#1
Đã gửi 29-01-2008 - 12:57
#2
Đã gửi 29-01-2008 - 16:18
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số g�#8220;m tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Bài này tương tự một bài trong 360 problems của Titu Andreescu!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 29-01-2008 - 19:45
$Maths$, $Smart Home$ and $Penjing$
123 Phạm Thị Ngư
#3
Đã gửi 29-01-2008 - 20:14
#4
Đã gửi 29-01-2008 - 20:41
#5
Đã gửi 29-01-2008 - 20:58
Chi tiết hơn chút đi bạnBài này em tính các trường hợp bị loại --> Nhanh phết
#6
Đã gửi 29-01-2008 - 21:10
Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.
Bước 1 Tìm tất cả các số chia hết cho 9
Có 10 cách chọn các chữ số $a_2$ , 10 cách chọn chữ số $a_3$, ... , 10 cách chọn chữ số $a_n$ ứng với các
cách chọn này có 1 cách chọn chữ số $a_1$ để thoả mãn bài toán. Vậy có $10^{n-1}$ số chia hết cho 9
Bước 2 Tìm số các số chia hết cho 9 không có chữ số 9 trong nó
Có 8 cách chọn $a_1$ các chữ số $a_2 ; a_3 ... a_{n-1}$ có 9 cách chọn,chữ số a_n có duy nhất 1 cách chọn.Do đó có tất cả $8.9^{n-2}$ số
Bước 3 Tìm số các số chia hết cho 9 mà trong nó chỉ có duy nhất một chữ số 9
Nếu số 9 đứng đầu: Có $9^{n-2}$ số($a_1$ và $a_n$ có 1 cách chọn)
Nếu số 9 không đứng đầu : Có $8.9^{n-3}.(n-1)$(Lấy số có$ n-1$ chữ số không có số 9 nào rồi thêm số 9 vào)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pi3.14: 29-01-2008 - 22:54
#7
Đã gửi 29-01-2008 - 21:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duck_Pro: 29-01-2008 - 21:44
#8
Đã gửi 29-01-2008 - 21:45
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 29-01-2008 - 21:45
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#9
Đã gửi 29-01-2008 - 21:53
#10
Đã gửi 29-01-2008 - 23:19
$F(x)=(x+x^2+\cdots+x^8)(1+x+x^2+\cdots+x^8)^k$
để tìm số số có k+1 chữ số chia hết cho 9 mà không có mặt chữ số 9, lưu ý định lý RUF.
Phần còn lại có đúng một chữ số 9 thì chọn vị trí cho số 9 rồi làm tương tự. Bận quá chưa kịp làm chi tiết. Mọi người thử xem sao.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanpt: 29-01-2008 - 23:20
#11
Đã gửi 30-01-2008 - 17:47
Nói kiểu này chắc tìm chết mất.Anh tanlsth có lời giải thế nào?Bài này tương tự một bài trong 360 problems của Titu Andreescu!
#12
Đã gửi 30-01-2008 - 18:07
No dau co de dau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanghe: 30-01-2008 - 18:13
#13
Đã gửi 30-01-2008 - 18:09
1. Tính số các số ko có chữ số 9 nào và chia hết cho 9 (số loại 1).
Giả sử $m=\overline{a_1a_2...a_{2008}}$. Ta có $a_i=0,1,...,8$.
Ta có số $k=\overline{a_1a_2...a_{2007}}$ có $9^{2007}$ lựa chọn và $a_{2008}$ có duy nhất $1$ lựa chọn phụ thuộc vào $k$. Do đó ở trường hợp này số các số thỏa mãn là $9^{2007}$
2. Tính số các số có không quá 2008 chữ số chia hết cho 9và có 1 chữ số 9 (số loại 2).
Ta loại chữ số 9 đó đi và đi tính số các số có 2007 chữ số chia hết cho 9 và có 0 chữ số 9. Như trên ta có số các số đó là $9^{2006}$.
Nhưng ta có với mỗi số đó và số 9 thì cho ra $2008.9^{2006}$ số loại 2.
Vậy tổng cộng có $9^{2007}+2008.9^{2006}$ số cả hai loại 1 và 2.
Do đó số các số thỏa mãn bài toán ban đầu là $\dfrac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh