Chủ đề này có 2 trả lời

[tuk19t]

1) giả sử các góc $\alpha ,\beta ,\gamma $ thỏa mãn:
$\left| {\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma } \right| \ge 2$.CMR:
$\left| {\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } \right| \le \sqrt 5 $
2) Dãy số $u_1 ,u_2 ,...,u_k $ dược xác định nhu sau:
$u_n = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}$ với $n = \overline {1,k} $. Đặt
$S = u_1 + u_2 + ... + u_k $
CMR: $18 < \dfrac{1}{S} \le 24$
3) Xét dãy $(u_n )$: n=1,2,... xác định bởi
$u_1 = 2;u_n = 3u_{n - 1} + 2n^3 - 9n^2 + 9n - 3$ với n=2,3,...
CMR: với mỗi p nguyên tố thì $2000\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {u_i } \vdots p$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuk19t: 04-02-2008 - 00:21

[gunner]

Bài 1 mà ko làm được hả Tú ,trêu anh em hả.Cứ Bunhiacópki là xong đâu đấy hết mà

[zaizai]

1) giả sử các góc $\alpha ,\beta ,\gamma $ thỏa mãn:
$\left| {\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma } \right| \ge 2$.CMR:
$\left| {\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma } \right| \le \sqrt 5 $
2) Dãy số $u_1 ,u_2 ,...,u_k $ dược xác định nhu sau:
$u_n = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}$ với $n = \overline {1,k} $. Đặt
$S = u_1 + u_2 + ... + u_k $
CMR: $18 < \dfrac{1}{S} \le 24$
3) Xét dãy $(u_n )$: n=1,2,... xác định bởi
$u_1 = 2;u_n = 3u_{n - 1} + 2n^3 - 9n^2 + 9n - 3$ với n=2,3,...
CMR: với mỗi p nguyên tố thì $2000\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {u_i } \vdots p$

Bài 3 là một bài trong đề thi chọn đội tuyển quốc gia của Tỉnh Quảng Trị. Cũng đơn giản thôi. Từ giả thiết suy ra

$u_n+n^3=3u_{n-1}+(n-1)^3\to u_n+n^3=9[u_{n-2}+(n-2)^3]=...=3^n$

Từ đó ta suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng:

$u_n=3^n-n^3,\forall n=1,2,...$

Sử dụng định lý Fecmat nhỏ thì $3^p -3\vdots p$ và $i^3+(p-i)^3 \vdots p$ ta có:

$ 2002\sum\limits_{i=1}^{n} u_i=[3+3^2+...+3^{p-1}]- \sum\limits_{i=1}^{p-1} i^3 \vdots p $

Bài toán được giải quyết